Algoritmo calcolo radice quadrata

Scommetto che, a meno che non odi proprio profondamente la matematica, ti sei chiesto più di una volta se i valori delle radici quadrati piovano dal cielo o se ci sia un metodo per calcolare la radice quadrata di un numero n, magari anche approssimata.

Sono quindi lieto di dirti che ESISTE un algoritmo che ti permette, se lo applichi correttamente, di calcolare la radice quadrata approssimata quanto vuoi.

Per spiegarti come si fa, ho deciso di usare un esempio, così dovrebbe risultarti più semplice.

Calcolo radice quadrata

Prendiamo un caso non troppo facile, nè difficile, ossia calcoliamo la radice quadrata di 729. Se non lo sai, questo non è proprio un numero a caso, ma è il quadrato di 27. Questo sarà quindi il valore che ci aspetteremo di trovare una volta applicato correttamente l’algoritmo.

Bene, INIZIAMO!

Innanzitutto, partendo da destra, metti un puntino (separatore) ogni due cifre. Ho scelto apposta un caso in cui le cifre sono dispari, così da mostrarti il caso meno ovvio (tra gli esempi di media difficoltà) che potrebbe capitarti.

Ti rimarrà quindi una cifra spaiata, nel nostro caso il 7.

Ora pensa al più grande numero che elevato al quadrato sia minore o uguale al numero della prima coppia. Nel nostro caso la prima “coppia” è 7, quindi il numero da noi ricercato è il 2.

Scrivi quindi 2 alla sinistra del numero. Per semplificarti la vita, potresti usare una schematizzazione simile a quella usata per la divisione. Trovi un esempio visuale nel video che ho postato qui sotto.

Il 2 sarà quindi la prima cifra della radice quadrata di 729 (proprio come ci aspettavamo 🙂 )

Ora riscrivi sotto il 7 il  quadrato di 2 sotto il 7. La differenza tra i due (7-4) la andrai quindi a scrivere sotto il 4.

Abbassi ora la seconda coppia di cifre, nel nostro caso andrai quindi a terminare tutte le cifre disponibili.

Avrai quindi scritto il numero 329. Anche questo puoi separarlo in “coppie” di cifre, questa volta partendo da sinistra.

Ora, sotto il numero 2 che hai scritto prima (che avevi messo nella posizione dove si accumulerà il risultato finale), scrivi il numero 2×2 (il numero raddoppiato).

La domanda che quindi devi porti è la seguente: Quante volte ci sta il 4 (2×2) nel 32 (prima coppia del numero che ti trovi a sinistra, ottenuto dalla differenza di (7,4) e dall’abbassamento del 29)?

La risposta è 8. Scrivi ora l’8 a fianco del 4 (2×2). Ottenendo quindi 48. Questo numero va poi moltiplicato sempre per l’8, il numero di volte che il 4 ci sta nel 32. 48×8=384. Purtroppo il è maggiore del 329, provo quindi con il 7 al posto dell’8.

Sostituisco quindi nella moltiplicazione 48×8, la cifra 8 con il 7. 47×7=329. “Fatalità” 😉 è proprio il numero che cercavamo. Comunque l’importante è che sia il più grande numero minore di 329 ottenuto eseguendo il seguente calcolo ((nx2)t)xt. Dove, se non ti è molto chiaro, nx2 rappresenta la prima cifra del primo fattore e la t la seconda cifra del primo fattore ed il secondo fattore.

Ora fai la differenza tra 329 (ottenuto a destra eseguendo la moltiplicazione) e 329 (ottenuto a sinistra dopo una differenza ed un abbassamento) e scrivi sotto il risultato. Questo rappresenterà il resto delle nostra radice quadrata approssimata alle unità, che può quindi essere definita una radice quadrata intera. Ovviamente nel nostro caso il resto è (e deve essere) 0, dato che il 729 è un quadrato perfetto.

Ora ricopia il 7 a fianco del 2, ottenendo quindi 27. Ecco quindi terminato l’algoritmo.

Adesso probabilmente ti stai chiedendo: certo, la radice quadrata di un quadrato perfetto la so calcolare anche con la fattorizzazione (se non sai come si faccia non preoccuparti, farò un articolo in cui lo spiego 😉 ), ma se al posto del 729 ci mettessi un altro numero che non è quadrato perfetto? Per esempio 731?

Nessun problema, quest’algoritmo funziona per qualsiasi numero. Puoi infatti decidere quante volte iterare (ripetere) la procedura, ovviamente in relazione al numero di cifre del numero di cui vuoi trovare la radice, ma anche con che precisione trovare la tua radice. Infatti se ti trovi di fronte ad un resto diverso da 0, una volta abbassate tutte le cifre, ti basterà aggiungere tante coppie di zeri a fianco del numero iniziale quanto vorrai trovare la tua radice precisa. Se per esempio vuoi trovarla precisa fino ai decimi, basta che a fianco del 731 ci scrivi due zeri, continuando quindi il tuo algoritmo per un’altra volta, ovviamente mettendo dopo il valore della radice intera la virgola.

Penso di essermi spiegato abbastanza bene, comunque non preoccuparti perchè qui di seguito ti metto a disposizione due strumenti davvero utili per imparare a calcolare le radici quadrate a mano. Queste sono:

  • Un esempio svolto da me su carta (graficamente e visivamente è tutto più facile)
  • Un video in cui viene spiegata la procedura, con degli esempi ulteriori.

Comunque ci tengo a dirti che, se non hai ancora capito bene come si faccia a trovare a mano la radice quadrata di un numero, non è perchè sei stupido, anzi. Questa procedura, come tantissime altre cose, necessita di essere digerita 🙂 Perciò non esitare a chiedermi qualsiasi chiarimento, esempi ulteriori o consigli, sono qui proprio per aiutarti.

E ricordati che nessuna domanda è stupida 😉

Detto ciò ti saluto, spero che possa nascere qualche discussione interessante qui o sulla pagina Facebook MATHONE.

Calcolo radice quadrata

 

3 commenti

  • Francesco Di Noto

    Ottimo, alle medie ce lo facevano studiare, ora chissà se lo insegnano ancora….credo di no, ci sono le calcolatrici tascabili. Ma di recente ho trovato la voce di “semi algoritmo” per problemi simili su un enciclopedia di matematica, e ho aggiunto il concetto di “frazionamento in decimi, centesimi, ecc.”per ottenere risultati simili, con un facile procedimento, che accenno parzialmente da un nostro lavoro ancora in corso: ” Ma c’è anche il semi algoritmo, voce che stranamente manca su Wikipedia.
    L’ho trovata nell’enciclopedia matematica “Garzantina” e serve a risolvere un problema matematico per tentativi successivi con numeri interi successivi, ma ora noi abbiamo introdotto il frazionamento in decimi, per esempio da 2 a 3 passando per 2,1, 2,2, 2,3, …2,9, 3. e poi eventualmente anche in centesimi, per ottenere risultati più precisi, per esempio nel calcolo manuale della radice quadrata di 2 e simili, senza usare metodi manuali precedenti e nemmeno la calcolatrice. Stiamo preparando un articolo in merito, da pubblicare nei prossimi mesi. Qui di seguito la definizione di semi algoritmo, dalla suddetta fonte: “ Semi algoritmo procedura definita per risolvere un problema la quale termina in un numero finito di passi se il problema ha soluzione , mentre non ha termine se il problema non ha soluzione; è, quindi, semi calcolabile . Si consideri per esempio il seguente procedimento utilizzato per estrarre la radice quadrata aritmetica
    r di un numero intero positivo n :
    1) si pone r = 0
    2) si calcola il valore di r^2
    3) Si incrementa r di una unità (r:= r +1) e si torna al passo 2
    Se, per esempio , n = 9, si effettuano i seguenti passaggi: si pone r = 0; dato che 0^2 ≠ 9 si passa ad r =1; dato che 1^2 ≠ 9 si passa ad r = 2; dato che 2^2 ≠ 9 si passa ad r =3; dato che 3^2 = 9 il procedimento termina :Tuttavia, se si prova a calcolare, con a stessa procedura, la radice quadrata di 8, la procedura non termina, poiché 8 non è un quadrato perfetto.
    ….
    La differenza tra algoritmo e semi algoritmo è strettamente collegata alla differenza fra →insieme decidibile e insieme semi decidibile .”

    Anche qui però si potrebbe usare il concetto di semi algoritmo frazionato ( e anche per altri problemi del genere, tipo radici cubiche, ecc.), e ne faremo un esempio pratico proprio con la radice quadrata del numero 8. Infatti, poiché 8 è compreso tra 2^2=4 e 3^2 = 9, la radice quadrata di 8 deve essere compresa tra 2 e 3 (una calcolatrice dà infatti √8 = 2,828….), Ma se vogliamo calcolarla, a scopo didattico con questo sistema per tentativi, possiamo usare il nostro concetto di semi algoritmo azionato, come in tabella , che qui limitiamo ai millesimi di unità tra 2 e 3, poi estensibile ai decimillesimi centesimi per una maggiore precisione rispetto a tre decimali….

    …” (proseguirà nel nostro lavoro finale ancora in corso ) Se ti interessa,dopo la pubblicazione ti invieròil lavoro completo , Grazie per l’attenzione, Francesco Di Noto

    • Davide Murari

      Ciao, grazie per il commento molto interessante, rispetto all’articolo facci sapere, fa sempre piacere inserire nel sito voci nuove e contenuti di qualità 😉
      -Davide

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