La catenaria: una curva ricca di proprietà e che piace alla natura

Catenaria? Che cos’è?! Un insetto? Beh, in realtà è una curva che conosci molto bene e di sicuro ti è capitato più di una volta di scambiare per una parabola. Quando prendi da due estremità una corda con peso uniformemente distribuito, generi proprio una catenaria. Oppure anche quando vedi le catene a penzoloni attaccate a dei paletti vedi delle catenarie, ma anche i ponticelli di legno si dispongono in quel modo. Questa curva geometrica è anche utilizzata in arte ed architettura perché gode di proprietà di stabilità molto interessanti, che  vedremo nei prossimi paragrafi. catenaria

Ti sembrerà strano ma nonostante la catenaria sia una curva poco nota ai più, essa è davvero ovunque e nelle prossime righe cercherò di illustrarti in breve la sua storia con alcune applicazioni e proprietà.

Studiare matematica a volte può risultare noioso. Uno stratagemma che secondo me funziona con chiunque per capire ed interessarsi a ciò che si studia è partire da degli esempi e da delle cose osservabili concretamente nel mondo in cui viviamo (ne ho parlato anche nell’articolo COME STUDIARE LA MATEMATICA). Studiare le proprietà e l’equazione della catenaria è quindi per me un ottimo modo per introdursi alla geometria differenziale delle curve e scoprire come la matematica sia sempre intorno a noi senza che ce ne rendiamo conto.

Un po’ di storia della catenaria

Lo studio della catenaria non è da farsi risalire a tempi molto antichi, almeno a quanto sappiamo. Il primo ad interessarsene fu Galileo Galilei nel 1638. Lui però la confuse con la parabola, infatti si convinse che la forma di una corda appesa per i suoi due estremi sotto la sola forza di gravità, fosse una parabola.

Ecco quello che Salviati afferma nella Seconda giornata del dialogo Discorsi e
dimostrazioni intorno a due nuove scienze (Ecco il link del libro di Galilei : LIBRO):

Salviati: …Ferminsi ad alto due chiodi in un parete, equidistanti all’orizonte e tra di loro lontani il doppio della larghezza del rettangolo su ‘l quale vogliamo notare la semiparabola, e da questi due chiodi penda una catenella sottile, e tanto lunga che la sua sacca si stenda quanta è la lunghezza del prisma: questa catenella si piega in figura parabolica, sì che andando punteggiando sopra ‘l muro la strada che vi fa essa catenella, aremo descritta un’intera parabola, la quale con un  perpendicolo, che penda dal mezo di quei due chiodi, si dividerà in parti eguali….

catenaria e parabolaIl primo a dimostrare che tale curva non fosse una parabola è Joachim Jungius nel 1669. Tale risultato fu affermato e rafforzato dai fratelli Bernoulli, Huygens e Leibniz che nel 1691 dimostrarono anche che tale curva non fosse algebrica (in caso di dubbi si veda: “Curve algebriche: Nozioni di base“) e fu battezzata catenaria da Huygens.

Questa curva e talvolta chiamata funicolare velaria e fu studiata anche da Eulero che nel 1744 dimostrò che la sua rotazione attorno all’asse $x$ del piano cartesiano genera una superficie minima, chiamata catenoide.

 

catenaria galilei

Equazione della catenaria e alcuni risultati interessanti

Sulla storia di questa strana curva ci si potrebbe dilungare ancora molto, ma il mio interesse in questo articolo è quello di concentrarci sulle proprietà più caratteristiche e sugli esempi che possiamo trovare tranquillamente uscendo di casa.

La catenaria è una curva trascendente (si veda: Curve trascendenti ) che ammette la seguente equazione:

$y=a \cosh(\frac{x}{a}) = a\big (\frac{\mathrm{e}^{x/a}+\mathrm{e}^{-x/a}}{2}\big)$

dove $a$ è una costante che rappresenta la distanza del punto più basso con il “terreno”. Dall’equazione si nota che la curva non dipende dalla distanza dei punti a cui è appesa la fune. Inoltre la curva è simmetrica rispetto all´asse $y$.

Ruote quadrate

Un problema interessante che coinvolge la geometria e le equazioni differenziali è il problema della ruota quadrata. La domanda è: Quale dovrebbe essere la forma della strada per far si che una ruota quadrata rotoli/scorra regolarmente?


ruote quadrate             catenaria e ruote quadrate


Si può dimostrare che nel caso di ruote poligonali, la strada deve essere composta da catenarie ribaltate collegate tra loro. Se vuoi vedere come mostrare tale risultato anche solo per il caso di ruote quadrate puoi guardare lo svolgimento dell'esame di maturità (seconda prova) del liceo scientifico un paio di anni fa : PROBLEMA RUOTA QUADRATA. Per un analisi più generale del problema si veda: Roads and Wheels.

Catenaria e trattrice

La curva trattrice, qui sopra raffigurata, gode di una proprietà essenziale: la lunghezza della tangente tra la stessa e l'asse x rimane costante per qualsiasi punto. Bene, una volta introdotta questa particolare curva, vediamo al volo il legame che c'è tra essa e la catenaria 😉

Nella geometria differenziale delle curve, si dice involuta ( o anche evolvente) una curva ottenuta da un'altra curva data seguendo questa procedura:

Si incolla una ipotetica striscia non allungabile ad un punto della curva data. Poi si tira il suo estremo libero e si fa aderire alla curva data la rimanente parte della striscia.

Nel caso della catenaria, l'estremo libero va ad individuare una metà della  curva trattrice se ne si disegna l'involuta 🙂 Legame strano ma interessante, no?!

Dove trovare la catenaria in natura?

Come già detto per i frattali in un precedente articolo (Frattali in natura), anche la catenaria è molto presente in natura, nell'arte, in architettura e molti altri ambiti, soprattutto grazie alle sue proprietà caratteristiche.

Lasciamo quindi ora le proprietà puramente geometriche viste nella precedente sezione per parlare della curva catenaria in natura e nei suoi molteplici utilizzi.

Catenoide e bolle di sapone

catenoide e bolle di sapone

Come già citato prima, la rotazione della catenaria attorno all'asse delle ascisse, genera una superficie minima detta catenoide. Tale risultato, oltre che mediante il calcolo differenziale, è mostrabile come nella figura qui in alto mediante le bolle di sapone. Esse tendono ad occupare meno spazio possibile distribuendosi su superfici minime, soprattutto a causa della tensione superficiale. Su questo tema ci sarebbe davvero molto da dire, ma di sicuro dedicherò un apposito articolo all'argomento più avanti.

Per ora ti basti notare che immergendo due strutture a forma circolare (uguale) nell'acqua e sapone si genera proprio il catenoide, che è quindi superficie minima 😉

Archi e catenarie rovesciate

Numerose sono le applicazioni in vari ambiti dell'architettura. La catenaria ha la proprietà di avere in ogni suo punto una distribuzione uniforme del suo peso totale. Essa è stata quindi spesso utilizzata per realizzare manufatti e strutture architettoniche. Le strutture realizzate secondo tale curva subiscono soltanto sforzi a trazione, come le funi di sostegno nei ponti sospesi, oppure, in alternativa, a compressione, quando la struttura realizzata ha la forma di una catenaria rovesciata, come nelle strutture di cupole. (Fonte : https://goo.gl/VRNxBQ ) Ne sono un esempio la cupola della cattedrale di St. Paul a Londra e la Sagrada Familia a Barcellona.

st. paul catenaria                 sagrada familia catenaria

Anche molti ponti sono stati costruiti sulla base della struttura della catenaria, come il famoso ponte di Santa Trinità a Firenze . Infine citiamo il famoso Gateway Arch

 

dell'architetto finlandese Saarinen, posto nel parco del Jefferson National Expansion Memorial.

Gateway Arch

Gateway Arch - Catenaria

ponte santa trinità catenaria

Ponte santa trinità - Catenaria

Catenaria e gravità

          

Il termine CATENARIA deriva del Latino catenaria ed è per definizione "la curva che descrive la forma di una catena flessibile appesa o di un cavo priva/o di pesi aggiuntivi o esterni". Tutti i cavi appesi liberi da altri pesi o striscie di materiali vari assumono questa forma. Il requisito affichè essa si formi è che la massa del corpo deve essere distribuita uniformemente nella lunghezza del corpo, ovvero esso deve avere densità uniforme. Inoltre il corpo (cavo o catena che sia) deve essere soggetto alla sola forza di gravità.

Conclusione

La catenaria, come molte altre curve che vedremo magari in futuro, è un esempio lampante di come l'analisi matematica della realtà non sia una perdita di tempo ma piuttosto un mezzo in grado di concederci nuovi e più avanzati strumenti e conoscenze. Spero di averti quantomeno incuriosito e interessato, ho appositamente cercato di usare anche più immagini e contenuti visuali possibili 😉

Se vuoi proseguire nell'approfondimento, qui sotto trovi i contenuti che ho usato per comporre questo articolo e alcune risorse per studiare qualcosa in più, sono sicuro che ti divertirai!

Bibliografia e approfondimenti

Lectures on minimal surfaces in $\mathbb{R}^3$ : PDF

La catenaria - Progetto matematica : ARTICOLO

Mathematics and technology: LIBRO

The catenary - Mathematics all around us : VIDEO 

Una non parabola - La catenaria : PDF

Hyperbolic Functions: Catenary: Formula and Proof : VIDEO

The Catenary: Art, Architecture, History, and Mathematics : PDF

Catenary: Wikipedia

Catenary: Wolfram  MathWorld

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