Come nasce un teorema: Metodo scientifico VS Approccio matematico

Come nasce un teorema matematico? Eh bella domanda, questo è un argomento molto vasto e sconosciuto ai più, che proverò ad approfondire nelle prossime righe.

Come nasce un teorema

Prima di parlare però di teoremi matematici, voglio partire con un introduzione al metodo scientifico e voglio poi evidenziare il perchè (e come) l’approcio matematico nella “creazione” di nuovi teoremi sia parecchio diverso.

Ti dico già che nel corso dell’articolo (prevalentemente nella parte introduttiva) citerò anche alcune riflessioni di Cartesio, fatte nel suo “Discorso sul metodo” che sto leggendo e apprezzo molto. Quindi bando alle ciancie…partiamo!

Il metodo scientifico

come nasce un teorema

Come penso tu sappia già, le scienze utilizzano un metodo per affrontare questioni di “ogni” genere con un approcio razionale. Fondamentalmente esso si basa sui processi evidenziati nella vignetta qui sopra:

  1. Osservazione di un fenomeno
  2. Formulazione di domande a riguardo
  3. Formulazione di ipotetiche risposte
  4. Esecuzione di esperimenti per supportarle o confutarle
  5. Registrazione e analisi dei dati/risultati
  6. Vengono tratte delle conclusioni

Quello che forse non sai è che però questo metodo è proprio solo di una delle due parti di cui le “scienze” si formano, ossia le scienze sperimentali. Come vedremo poi, la matematica non fa parte di queste (intanto tienilo bene a mente).

Penso sia più che chiaro il motivo per cui si chiamino sperimentali le scienze basate su questo approcio. Infatti in questi campi (fisica, biologia, chimica…) si può definire vero, ciò che è confermato dall’esperienza. Una teoria scientifica è quindi un’ipotesi che è stata supportata da risultati concreti.

L’esperimento ovviamente viene ripetuto più e più volte prima di poter affermare che una tale teoria sia vera, non si basano affermazioni su un solo caso (che potrebbe benissimo essere isolato).

Vi sono poi altre correnti di pensiero relativi alle scienze (come il falsificazionismo) ma per non mettere troppa carne al fuoco, per il momento non mi soffermerò su esse.

Andiamo però oltre…perchè è necessario un metodo?

Cartesio disse che quelli che camminano assai lentamente possono progredire molto di più, se seguono sempre la retta via, di quelli che correndo se ne allontanano. In queste parole molto persuasive e chiare, ritengo si trovino tutte le motivazioni dell’esistenza di un metodo.

Esso è infatti un qualcosa di affidabile in tutto e per tutto, che seppur in maniera lenta permette di arrivare a conclusioni non affrettate e completamente coerenti con la realtà e le ipotesi di partenza.

Le regole che lui riteneva un metodo scientifico (e per questo razionale) dovesse possedere sono quattro:

  1. Non si deve accettare mai nulla per vero
  2. E’ necessario dividere ogni problema preso in esame quato fosse possibile e richiesto per risolverlo più agevolmente
  3. Condurre ordinatamente i pensieri cominciando dalle cose più semplici a conoscersi per salire poi
  4. Essere in grado di non trascurare nulla

Beh, è chiaro che il metodo presentato qualche riga più in su (anche nella vignetta) rispecchia tutte queste regole. Come ben saprai quel “metodo” lo si deve prevalentemente a Galileo Galilei.

Le scienze formali

Una volta introdotto il metodo tipico delle scienze sperimentali, voglio parlarti di un suo chiaro limite. Infatti ogni teoria scientifica è vera fin tanto che non venga eseguito un esperimento in grado di confutarla.

Queste sono parole molto pesanti, soprattutto dopo aver elogiato il metodo per tutto questo tempo. Eh si, però è la brutta realtà. Infatti purtroppo noi non abbiamo la possibilità di sperimentare infinite volte una determinata circostanza, e anche se lo fossimo non saremmo ancora sicuri che una determinata affermazione sia vera in ogni circostanza.

E’ proprio per questo che Cartesio disse “mi piacevano le matematiche, per la certezza e l’evidenza delle loro ragioni.”

All’inizio dell’articolo ti ho infatti detto che la matematica non è tra le scienze sperimentali, ma che cos’è allora? Eh, di definizioni di matematica ce ne sono molte, ma nessuna penso sarà mai in grado di descriverla in tutto e per tutto.

La matematica può essere definita come la scienza in cui non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero.
(Bertrand Russell)

Giusto per confonderti un po’ 😉 ho pensato di inserire questa descrizione di matematica un po’ mistica, curiosa e piena di nuove domande. Nel weekend penso di scrivere una riflessione riguardo questa citazione sulla pagina Facebook (lascia un mi piace intanto 😉 : Pagina ).

Detto ciò, la matematica ricade nel campo delle scienze formali .

Mentre le scienze sperimentali utilizzano il metodo sperimentale (fisica, chimica, biologia, medicina, …) le scienze formali sono astratte, e il loro studio non procede per via sperimentale, ma per via logico-deduttiva. Un’altra scienza formale molto importante è la logica, che studia le leggi del pensiero e del ragionamento, e costituisce la base formale del ragionamento matematico.

Ma sono forse le scienze formali meno importanti delle scienze sperimentali? Beh, senz’altro sono molto più stabili e durature.

Per capire meglio ciò di cui ti sto parlando potresti guardare il video qui sotto, in cui la matematica viene paragonata ad un diamante:

Eh si, infatti ciò che in matematica è definito vero, lo rimarrà per sempre.

Ma come si fa ad affermare che un enunciato è vero? Beh, “semplice”: DIMOSTRANDOLO!

Una dimostrazione è infatti un procedimento logico-deduttivo che partendo da ipotesi e un gruppo di assiomi, permette di affermare che un determinato enunciato è vero.

Che cos’è quindi un teorema?

Un Teorema è un enunciato dimostrabile all’interno di una certa teoria matematica. Ogni teoria matematica, detta più propriamente sistema formale, ha, alla sua base, una serie di verità fissate a priori, dette assiomi: esse contengono le proprietà fondamentali di alcuni oggetti, che costituiscono i concetti primitivi della teoria stessa.

La “storia” di un teorema è quindi molto lunga (infinita se va tutto bene 😉 ).

Si parte infatti da una congettura (enunciato non ancora dimostrato vero), una serie di ipotesi e concetti assunti per veri (assiomi). Qui sto volutamente utilizzando un linguaggio non troppo formale perchè rischierei di commettere errori e mi interessa che passi il concetto divulgativo (se così lo posso definire) piuttosto che il formalismo.

A questo punto entra in gioco la dimostrazione. Essa è un po’ come una bacchetta magica che permette di dare “vita eterna” ad una congettura. Infatti se essa va a buon fine, non esisterà poi modo per affermare che tale enunciato sia falso, se non cambiando le ipotesi e gli assiomi di partenza.

Ovviamente tutto questo procedimento può richiedere moltissimo tempo, basti pensare ai numerosi problemi ancora irrisolti, alle congetture non ancora dimostrate, ai “teoremi” che hanno richiesto secoli per essere dimostrati (Vedi Ultimo teorema di Fermat ).

Ok, ora che abbiamo visto, (seppur non troppo in dettaglio) come nasce un teorema, spero che ti siano sorte molte altre domande. Io ne ho molte ed è proprio per questo che continuo a scrivere ogni settimana, così ho uno stimolo a provare a trovare delle risposte 😉

A questo punto penso di aver detto abbastanza, lascio completare il tutto ad un video molto interessante. E’ un seminario tenuto da Cedric Villani, si intitola “Birth of a theorem”, direi che si attiene quindi molto al tema dell’articolo. Non ti nascondo infatti che mi sia venuta voglia di parlare di ciò proprio dopo aver visto il suo video 🙂

Dopo essermi dilungato più di quanto pensassi, ti chiedo di condividere l’articolo se l’hai ritenuto interessante. Contattami per qualsiasi domanda, puoi anche lasciare un commento qui sotto 😉

Un commento

  • Rodolfo Ambrosetti

    Salve! Sono abbastanza d’accordo ma ritengo che la “definizione” piu’ precisa sia che una teoria e’ scientifica se e’ falsificabile (cioe’ sono d’accordo con Popper), e gli esperimenti che debbono essere fatti debbono avere come obiettivo non quello di confermarla ma quello di falsificarla. Faccio un esempio: io ipotizzo (esprimo una congettura) che tutti i colombi sono bianchi. Questa affermazione e’ equivalente logicamente che allora tutte le cose non-bianche sono non-colombi, quindi posso verificare questa affermazione. Ma allora sto nella mia stanza e guardo un libro rosso: non e’ bianco e non e’ un colombo, quindi la mia ipotesi e’ confermata. E il mio tavolo e’ marrone, e non e’ un colombo. La mia camicia e’ grigia, e non e’ un colombo. Posso andare avanti e rimanendo sempre nella mia stanza continuo a verificare la mia affermazione iniziale e ne sono sempre piu’ convinto malgrado non abbia mai visto un colombo.

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