Dimostrazione per assurdo: Teoria e molti esempi

Dimostrazione per assurdo, ma cosa ca…volo sono? 🙂

Immagino che tu ne abbia già sentito parlare, nel caso fosse la prima volta, non preoccuparti, troverai esempi facili da capire. Non siamo qui per parlare di alta matematica, ma per divulgare e diffondere ciò che di bello ha questa disciplina.

Bene, basta vagheggiare, torniamo a noi. Le dimostrazioni, come ben sai, svolgono un ruolo fondamentale nella matematica. Sono quei procedimenti che ci permettono di definire un enunciato vero, in parole povere sono quello strumento che permettono alla matematica di essere vera per sempre.

dimostrazione per assurdo

Se un enunciato è infatti dimostrato coerentemente, a meno che non vengano rifiutate le ipotesi di partenza, esso rimarrà vero per sempre. Detto ciò, se vuoi introdurti alle dimostrazioni e scoprirne una particolare tipologia, qui di seguito trovi due articoli che ho pubblicato qualche tempo fa sull’argomento 😉

  1. Introduzione alle dimostrazioni matematiche
  2. Che cos’è il principio di induzione

Oggi, imparerai (o ripasserai) invece che cosa sono le dimostrazioni per assurdo e verai quando è utile usarle.

Ho deciso di non perdermi troppo in chiacchiere, introdurre subito l’idea di base che sta dietro questa “tecnica” dimostrativa e dopo lasciare lo spazio ad alcuni esempi. Questi infatti ti chiariranno molto le idee, ne sono sicuro 😉

L’idea di base della dimostrazione per assurdo

Questa tecnica dimostrativa, è uno strumento molto potente nelle mani dei matematici.

Privare un matematico della possibilità di fare dimostrazioni per assurdo sarebbe come legare le mani di un pugile dietro la schiena.

 

 

(David Hilbert)

L’ha detto pure Hilbert che sono importanti 😉

L’idea di base è molto semplice, eccola qui:

Voglio dimostrare che un enunciato, che chiamo E, è vero

Suppongo che sia falso, ossia che sia vero “non E”

Trovo una contraddizione, affermo quindi che “non E” è falso

Siccome non possono essere falsi sia “E” che “non E”, allora “non non E” è vero, quindi E è vero.

FINE

L’unico concetto non troppo intuitivo di questo procedimento, è il finale. Ti ricordo però che la negazione della negazione di un’affermazione, è l’affermazione stessa non negata.

Eccoti un esempio pratico. Tutti i numeri dispari non sono divisibili per due. Dispari vuol dire non pari.

Di conseguenza dire che tutti i numeri non pari non sono divisibili per due, equivale al dire che tutti i numeri pari lo sono.

 

Capisco che ti possa essere nato qualche dubbio, è più che normale.

Ora ti consiglio di rileggerti l’idea di fondo di questa tecnica dimostrativa, poi prosegui con gli esempi che ti chiariranno senz’altro le idee. Sono appositamente messi in ordine crescente di difficoltà, così da favorire un apprendimento graduale dell’argomento 😉

Esempi ed applicazioni

Partiamo con un caso davvero semplice, quasi banale.

Enunciato: 

Non esiste un numero razionale strettamente positivo, più piccolo di tutti gli altri.

Dimostrazione:

Supponiamo che esista un numero razionale positivo più piccolo di tutti gli altri. (Ricordo che un numero razionale è un numero esprimibile come frazione).

Sia questo numero R>0.

Prendiamo ora R/2, esso è ancora razionale, è ancora positivo ma è evidentemente più piccolo di R.

Il che è assurdo, dato che avevamo supposto essere R il più piccolo razionale positivo.

Concludiamo quindi che non esiste il minimo tra i numeri razionali positivi, proprio come volevamo dimostrare 😉

FINE

Semplice no? Saliamo ora un po’ di livello, dimostriamo che la radice di 2 è un numero irrazionale (ossia non è scrivibile come frazione). Questa dimostrazione sarebbe davvero complessa, senza l’utilizzo della tecnica dell’assurdo, vedrai invece quanto è semplice utilizzando una dimostrazione per assurdo!

Enunciato:

La radice di 2 è un numero irrazionale.

Dimostrazione

Supponiamo che la radice di 2 sia un numero razionale, ossia che esistano due numeri naturali a, b tali che a/b sia proprio uguale a radice di 2.

Supponiamo anche che a,b non abbiano fattori comuni, ovvero che a/b non sia una frazione semplificabile ulteriormente.

Eleviamo al quadrato sia la frazione che la radice di due.

Otteniamo quindi a^2 / b^2 = 2.

Ossia, a^2=2b^2. Ciò vuol dire che a^2 è pari, ma l’unico modo perchè a^2 sia pari, è che a sia pari. Quindi possiamo prendere un numero naturale k e dire che a=2k.

Abbiamo quindi ora (2k)^2=4k^2=2b^2. Ossia b^2=2k^2. Ma ciò vuol dire che b^2 ed in particolare b, sono pari. Ossia che esiste un numero naturale h, tale che 2h=b.

Ora possiamo quindi riscrivere la frazione di partenza a/b come 2k/2h uguale a radice di 2. Ma questo è assurdo, dato che questa frazione è semplificabile mentre nella prima supposizione abbiamo detto che tale frazione era ridotta ai minimi termini.

Ciò implica che la supposizione da noi fatta sia falsa, ossia la radice di 2 non è un numero razionale.

Segue quindi immediatamente l’enunciato che volevamo dimostrare 😉

FINE

Questo era un po’ più complicato, ho però cercato di descrivere ogni passaggio. Se hai dubbi di ogni genere, lascia un commento o mandami pure una mail qui list@mathone.it . Comunque, vuoi mettere?! Ora sei in grado di dimostrare che la radice di due non è una frazione, è un bel traguardo 😉 Io mi sono gasato quando l’ho imparata e capita per la prima volta, forse sono strano ahah 🙂

Passiamo ora ad una dimostrazione un po’ diversa, riguarda l’ambito insiemistico. Non è per nulla complicata, ma richiede un po’ di attenzione. Te la propongo giusto per farti capire che la dimostrazione per assurdo può essere utile per svariate tipologie di enunciati. Eccola a te:

Enunciato:

Siano A e B insiemi. Dimostra che (A-B)∩(B-A)=Ø

Dimostrazione:

Supponiamo che questa intersezione non sia vuota. Supponiamo quindi che ci sia un elemento x appartenente a questa intersezione.

Scriviamo ora A-B come A∩B’ dove B’ è il complementare di B nell’insieme universo U a cui A e B appartengono. Analogamente, poniamo B-A=B∩A’.

Siamo giunti quindi ad un problema. Se x appartiene all’intersezione di questi insiemi, significa che:

x appartiene ad A ma anche a A’. Inoltre x appartiene a B, ma anche a B’. Il che è assurdo, dato che B’=U-B, quindi B’ è l’insieme degli elementi di U che non appartengono a B. Non può esistere quindi un x appartenente ad entrambi.

Siamo giunti quindi ad una contraddizione, proprio come volevamo. Il che significa che non può esistere un x che soddisfi tale condizione. Segue che tale intersezione è nulla, come volevasi dimostrare 😉

FINE

Ecco, per questo articolo penso di aver detto anche troppo, abbiamo già superato le 1000 parole 😉 Spero vivamente di averti spiegato abbastanza chiaramente che cosa si intende per dimostrazione per assurdo, in cosa consiste e quando la si utilizza. Ci sarebbe da dire altro ancora e molti altri esempi, ma non mettiamo troppa carne al fuoco.

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