Introduzione alle dimostrazioni matematiche

Con questo articolo voglio parlare di un argomento particolarmente delicato, ossia le dimostrazioni matematiche. Sono pienamente consapevole del fatto che per esaurire la tematica non sia sufficiente nemmeno un libro intero, dato che le dimostrazioni sono uno dei fondamenti della matematica. Infatti l’articolo non nasce con lo scopo di dire tutto sulle dimostrazioni, ma questo è un articolo fatto per evolvere.

Dimostrazioni matematiche

L’obiettivo principale è parlare delle dimostrazioni matematiche, partendo da alcuni concetti fondamentali per la trattazione, parlando poi dell’importanza delle dimostrazioni nella matematica e infine (in un articolo separato) delle principali e più basilari tecniche dimostrative, toccando alcuni argomenti di particolare importanza. Essi probabilmente in un futuro più o meno prossimo verranno approfonditi in questo articolo o in altra sede.

La premessa termina qui, ora possiamo finalmente iniziare a parlare delle dimostrazioni matematiche! 🙂

Una definizione abbastanza formale del concetto di dimostrazione può essere la seguente:

Una dimostrazione matematica è un processo di deduzione che, partendo da premesse assunte come valide (ipotesi) o da proposizioni dimostrate in virtù di queste premesse, determina la necessaria validità di una nuova proposizione in virtù della (sola) coerenza formale del ragionamento.

Forse non è comprensibile facilmente a tutti come definizione, tuttavia non è troppo complessa. Ora vediamo comunque di semplificarla ed approfondirla.

Partiamo fornendo due definizioni preliminari abbastanza importanti per le circostanze:

Enunciato: E’ una proposizione di cui ha senso dire che sia vera o falsa, ossia una frase con un valore di verità determinato (Vero o Falso).

Teorema: E’ una proposizione con la quale si vuole affermare che un enunciato sia vero. Solitamente si presenta nella forma A,B,C,D… -> T, dove A,B,C,D sono le ipotesi e T la tesi.

Ho appositamente deciso di non descrivere i due concetti in modo troppo preciso perdendomi in formalismi in quanto ora non voglio entrare in descrizioni e trattazioni troppo rigorose matematicamente. Ciò che ritengo importante ora è fornire un’infarinatura sui concetti e sulle tecniche principali, fornendo esempi prevalentemente di carattere concreto.

Bene, ora possiamo passare ad una definizione più terra terra del concetto di dimostrazione matematica.

Una dimostrazione matematica è un ragionamento con il quale si vuole convincersi e si vuole convincere che un teorema sia vero. Ossia che al verificarsi delle ipotesi A,B,C,D… la tesi si verifichi certamente.

Messa giù così credo che la definizione fornita inizialmente possa risultare più chiara. Tuttavia vediamo di chiarire le idee con un esempio.

Teorema: Se febbraio ha 29 giorni allora siamo in un anno con 366 giorni.

Dimostrazione: L’obiettivo della dimostrazione di tale teorema è dire che partendo dal fatto che febbraio abbia 29 giorni si giunga a dire che certamente ci si trova in un anno di 366 giorni.

Giunti a questo punto, spero di aver chiarito il concetto di dimostrazione matematica, tuttavia ora rimangono in sospeso due concetti importanti (sono due solo perchè per ora non mi pongo l’obiettivo di una trattazione esauriente, davvero difficile a mio parere) : a cosa servono le dimostrazioni e come dimostrare una teorema.

Il primo punto, ossia a cosa servono le dimostrazioni, ha una (o più) risposte molto chiare e importanti.

Per non perdersi in chiacchiere superflue (per il momento) mi limito ad un semplice accenno relativo all’importanza delle dimostrazioni.

La matematica, differentemente dalle scienze empiriche, si basa su un processo assiomatico deduttivo. Esso sostanzialmente ha come fondamento la dimostrazione, in quanto per giungere ad una qualsiasi affermazione è necessario dimostrare in modo logicamente corretto e coerente che partendo da alcuni assiomi (enunciati dati per veri o comunque accettati da tutti) si giunga naturalmente ad una determinata conclusione.

In questo processo è quindi nascosta (ma neanche tanto) l’importanza della dimostrazione matematica. Tuttavia non ritengo questo il momento adatto per parlare in modo approfondito di questa tematica.

Se sei particolarmente ferrato sull’argomento o comunque ti appassiona, sarei molto grato se mi inviassi alcune righe in cui spieghi qual è l’importanza delle dimostrazioni nella matematica, fra qualche settimana pubblicherò un articolo unicamente dedicato a questa tematica, quindi un’articolo collaborativo credo che possa essere la migliore soluzione 🙂

Siccome penso che questo articolo abbia già un buon numero di spunti ed informazioni importanti, per agevolare la lettura ho deciso di parlare del secondo argomento lasciato in sospeso, come dimostrare un teorema, in un articolo a parte.

Intanto ti lascio un link che ritengo utile, sono alcune righe dedicate a fornire un metodo per studiare le dimostrazioni fatte da altri. Infatti spesso risulta più difficile comprendere il ragionamento fatto da altri che farne uno proprio. Ecco l’articolo: Come studiare le dimostrazioni.

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