Distanti ma vicini: alla scoperta del concetto di distanza

Nella vita quotidiana si incorre spesso in discorsi che, se analizzati più nel profondo, possono risultare errati o poco precisi.

Con ‘poco precisi’, intendo da un punto di vista matematico. Spesso vengono coinvolti infatti concetti con una certa superficialità, solitamente perchè non è necessario coinvolgere precisazioni superiori dato che ci si capisce e ciò è sufficiente.

Alcune cose infatti vengono approfondite solo dagli addetti ai lavori, solo da chi cerca appositamente chiarezza a riguardo. Ma, nonostante ciò, anche chi si interessa ad approfondire non ha motivi per essere così rigoroso nel linguaggio comune. Vediamo in questo articolo un esempio di queste situazioni, in cui talvolta qualche precisazione in più non guasterebbe.

distanza

Il concetto di distanza è proprio uno di quelli, quando si parla di distanza tra due posti, tra due persone o tra qualsiasi coppia di oggetti, si sottintende sempre una cosa…stiamo parlando di distanza euclidea.

Cosa vuol dire distanza euclidea? Come fanno due cose ad essere distanti e vicine allo stesso tempo? Perché usiamo naturalmente la distanza euclidea e non altre? Quali altre distanze usiamo senza accorgercene?

Queste sono tutte domande che ho citato per alimentare la tua curiosità, con calma le svilupperemo nel corso dei prossimi paragrafi.

Partiamo con questa trattazione mettendo un po’ d’ordine ed introducendo qualche formalismo matematico, come piace a noi

Per non complicarci eccessivamente la vita, cerchiamo di ragionare come se ci trovassimo su un piano. Questa approssimazione non è per niente assurda se ci si concentra su una zona della terra abbastanza ristretta, così da essere ben approssimabile con un piano.

Bene, ora diciamo distanza un’applicazione (funzione) che manda qualsiasi coppia di punti del piano nella loro distanza, un numero reale non negativo.

Una volta definito su un piano un insieme di punti P, possiamo definire in modo molto rigoroso questa funzione come

d\colon P\times P \to \mathbb{R}

A,B \to d(A,B).

Essa gode di alcune proprietà interessanti. Innanzitutto essa è uguale a zero se e soltanto se, presi due punti qualsiasi dell’insieme di partenza, essi coincidono. Inoltre essa è simmetrica, detti cioè A e B due punti del piano e ‘d’ la funzione di distanza, d(A,B)=d(B,A). Ossia la distanza di due punti non varia al variare del ‘verso di percorrenza’.

L’ultima proprietà che voglio citarti, e forse la più importante, è la disuguaglianza triangolare. In termini pratici essa formalizza il seguente intuitivo concetto, presi tre punti sul piano A, B, C è più breve il percorso per andare da A a C direttamente, piuttosto che passare anche da B.

In termini più formali, d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C). Non voglio perdermi troppo su ciò, anche se meriterebbe, ma ti consiglio di riflettere su alcune proprietà dei triangoli alla luce della disuguaglianza triangolare

Giusto per completezza, ci tengo a dirti che una distanza viene spesso chiamata metrica e che un insieme di elementi, dotato di una metrica (su esso ben definita) viene detto spazio metrico.

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Che cos’è la distanza euclidea?

La distanza euclidea è quella con la quale sei abitualmente portato a ragionare..i motivi di questo fatto sono principalmente due:
1. È intuitiva e pratica
2. È facile da visualizzare

Da un punto di vista formale, questa distanza è detta metrica L2. Ma non è niente di strano, solo un nome 😉

Da un punto di vista pratico, la distanza euclidea è il cammino più breve che congiunge due punti del piano. Breve nel senso naturale del termine, ossia quello che misura meno se lo si valuta con metro o righello.

Nel piano le distanze euclidee tra coppie di punti sono ‘realizzate’ dai segmenti che li congiungono.

Per determinare la distanza tra due punti nel piano si applica infatti banalmente il teorema di Pitagora. Vediamo come…

Prendiamo due punti nel piano di coordinate (a,b) (x,y). La loro distanza euclidea sarà \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}. Se provi a farti un semplice disegno su carta o su geogebra, con x-a e y-b stiamo indicando la lunghezza di base e altezza di un triangolo rettangolo avente tra i vertici i due punti da noi introdotti.

Il terzo vertice, per completezza, sarà di coordinate (x,b).

Ma che altre possibili distanze ci sono?!

Forse lo scorso paragrafo ti è sembrato poco utile, dato appunto che naturalmente ragioni in questi termini e molto probabilmente non hai mai visto una distanza che non sia quella euclidea.

Piuttosto che spiattellarti davanti agli occhi una lista di altre distanze/metriche preferisco costruirle con calma insieme a te, partendo da degli esempi.

La metrica del Taxi

Iniziamo con la METRICA DEL TAXI che, come dice il nome, si basa su ciò che i tassisti, soprattutto a New York (o in città in cui il sistema stradale forma delle griglie sulla città), utilizzano per stabilire la strada più breve da percorrere per andare da un punto A ad un punto B della città. Prova per un attimo a pensare, avendo una città con le strade messe a griglia, con i palazzi nelle aree delimitate dalle strade, come sceglieresti la strada migliore da fare per andare da A a B? Sicuramente non collegheresti i due punti con un segmento, dato che non esiste una strada che ti congiunge i due punti con questo percorso (certo, sto escludendo il fatto che tu abbia un aereo supponi di doverti muovere in auto, bici, monopattino o a piedi). Ovviamente misureresti il percorso più breve muovendoti sulle strade…bene allora stai ragionando non con la metrica euclidea, ma con la metrica del taxi, talvolta detta 1-distanza.

In termini più formali, detta ‘d’ la 1-distanza, e dati due punti A=(a,b) e B=(x,y) si ha che d(A,B)=|x-a|+|y-b|..preferisco non approfondire ancora questa parte, ma ti consiglio di farti qualche esempietto su carta che va sempre bene.

Una metrica mista

Vediamo ora un’altra metrica particolare che spesso si usa. Ti è mai capitato di definire una meta ‘distante’ se si trovava oltre una certa soglia da te concepita come ‘distante’? Mi spiego meglio, diciamo di trovarci in un punto A della città e di avere due mete B e C. Ora, ti è mai capitato di definire sia B che C distanti nonostante magari in linea d’aria B disti 100km mentre C 300km?

Immagino di sì, infatti noi siamo spesso portati a semplificare, quindi oltre una certa soglia non ci interessa la precisione ma la praticità…non ci importa quindi non precisare che C è PIÙ DISTANTE di B da A. Bene, la metrica discreta fa proprio questo.

Supponiamo per esempio che oltre il raggio dei 50km diciamo una meta distante. Bene, allora definiamo una metrica discreta ‘d’ come segue:
* se in linea d’aria la distanza è minore di 50km allora d(A,B)=0
* altrimenti d(A,B)=1.

Volendo possiamo definire A e B vicine se la loro distanza discreta è 0, distanti altrimenti.

La metrica discreta

Poi ancora più particolare è la metrica discreta, in cui tutti i punti distano 1 a meno di scegliere due punti coincidenti. La praticità e la frequenza con cui quotidianamente si usa questa distanza è abbastanza bassa, ma a volte può capitare…

Altre distanze interessanti sono le p-distanze (di cui la metrica euclidea e del taxi fanno parte) che sono così definite:
Siano dati due punti A=(a,b) B=(x,y), si ha che detta ‘d’ la p-distanza, d(A,B)=((x-a)^p + (y-b)^p)^{1/p} il cui caso limite è la distanza infinito.

La distanza infinito di A da B è \max{|x-a|,|y-b|}, per il momento penso siano sufficienti queste introduzioni, giusto da mettere in chiaro che noi abitualmente ragioniamo in termini di distanza euclidea (2-distanza) ma essa è solo una tra le tante.

Come fanno due cose ad essere distanti e vicine allo stesso tempo?

Ormai la risposta a questa domanda, che poteva sembrare stravagante qualche minuto fa, mi sembra quasi ovvia.

Infatti la domanda è poco precisa dopo aver visto come non esista una sola distanza. Per esempio possiamo prendere due oggetti distanti, in linea d’aria 1000km (rispetto alla comune 2-distanza), rispetto alla distanza discreta saranno distanti 1 (quindi possiamo dirli vicini) e rispetto alla distanza euclidea sono invece molto distanti Semplice, no?!

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