Funzione di partizione: cos’è e a cosa serve?

Quante sono le possibili somme che puoi scrivere per calcolare il numero 3?

Beh, basta provare. Non sono molte dopotutto!

3=3

3=2+1

3=1+1+1

Si dai, hai ragione. Sono bastate 3 righe.

Quante sono le somme distinte possibili per trovare il numero 5? Si dai, saranno un po’ di più, ma non troppe da rendere il calcolo difficile.

5=5

5=4+1

5=3+2

5=3+1+1

5=2+2+1

5=2+1+1+1

5=1+1+1+1+1

Ancora ragionevole come operazione. Devi però sapere che anche solo per trovare il numero 22, esistono 1002 possibili somme distinte. Bisogna ammettere che mettersi giù a trovarle tutte e 1000 sarebbe abbastanza laborioso e soprattutto noioso.

Non sarebbe interessante scoprire se esistesse una funzione p(n) che, inserito in input il numero di cui vogliamo trovare il numero delle possibili somme, ci restituisca proprio ciò che cerchiamo?

Una funzione che restituisca quindi i seguenti risultati?

p(0)=0

p(1)=1

p(2)=2

p(3)=3

p(4)=5

p(5)=7

e così via… Se sei curioso ho trovato un sito in cui sono elencati i risultati relativi ai primi 10.000 numeri naturali. Puoi scoprirlo inserendo la tua email qui sotto:

Beh, torniamo a noi…Esiste una funzione in grado di restituire questi risultati? Si, esiste. Si chiama funzione di partizione. Un giovane scienziato americano è venuto a capo di questo problema, banale solo in apparenza, che tiene in scacco i matematici da secoli.

funzione di partizione

Ken Ono, un ricercatore della Emory University di Atlanta, in Georgia, è venuto a capo di uno degli enigmi matematici più resistenti della storia: la funzione di partizione. A prima vista sembra un problema banale: la partizione di un numero intero n è una sequenza di numeri interi la cui somma dà come risultato n. Non sembra nulla di troppo complicato.

A prima vista non vi è alcuna regolarità nell’andamento dei risultati associati ai progressivi numeri naturali. Te ne rendi conto soprattutto se hai dato un’occhiata all’andamento relativo ai primi 10.000 numeri naturali qui sopra. Eppure i matematici degli scorsi secoli non si sono dati per vinti ed in molti si sono cimentati in questa impresa, non riuscendoci però.

Ci aveva provato nel XVIII secolo Eulero, che era riuscito a mettere a punto un metodo di calcolo ricorsivo lento, complesso e inapplicabile a numeri grandi.

Nel XX secolo i matematici Ramanujan e Hardy svilupparono una formula che funziona abbastanza bene per numeri inferiori a 200, ma, contenendo la costante π, offre risultati approssimativi e con un numero infinito di decimali.

Hardy e Ramanujan giunsero alla loro formula introducendo il cosiddetto metodo del cerchio. Questo metodo ebbe un grande successo in molti problemi asintotici di teoria additiva dei numeri perchè consente di trasformare un problema additivo in un problema che può essere risolto attraverso gli strumenti dell’analisi complessa. Viene spesso chiamato anche metodo di Hardy, Ramanujan e Littlewood in quanto essi lo utilizzarono per trattare diversi problemi additivi come il problema di Waring e la congettura di Goldbach.

Ramanujan, poco prima di morire, lasciò un misterioso appunto nel quale indicava una non meglio specificata schematicità secondo le potenze di 5, 7, 11 nella sequenza dei numeri di partizione.

Nel 1937 il tedesco Hans Rademacher riuscì a sviluppare un’equazione che permette di calcolare l’esatto valore di partizione: peccato che per funzionare richieda di sommare infiniti numeri che hanno un numero infinito di decimali. “Sono numeri macabri” commenta Ono.

Rademacher, mentre preparava delle note sul lavoro di Hardy e Ramanujan, fece un piccolo cambiamento nell’analisi che lo portò alla scoperta di una serie convergente e quindi di una formula esatta per p(n). Il teorema di Rademacher rappresenta il coronamento del metodo del cerchio e il cammino d’integrazione utilizzato nella sua dimostrazione è legato ai cerchi di Ford e alle frazioni di Farey. La dimostrazione di Rademacher, inoltre, costituisce anche una meravigliosa applicazione della funzione eta di Dedekind.

La soluzione trovata da quest’ultimo, risiede nell’analogia che ha questa successione con i frattali. Apparentemente non vi è nessuna regola che governa la progressione dei p(n), ma a livello locale si possono notare degli schemi ricorrenti. Come già Ramanujan intuì, il segreto per trovare tale schema, risiede nelle proprietà di divisibilità dei numeri di partizione.

Se ti interessano le formule più accurate, se vuoi scoprire qual è la formula a cui si è arrivati e quelle che si sono susseguite nel tempo con maggiore precisione, inserisci la tua email qui sotto. Ho trovato un pdf fatto molto bene di cui non ha senso riportare troppi tecnicismi in questo articolo. Quindi se ti interessa approfondire eccolo qui:

Prima di concludere, ci tengo a soffermarmi su una domanda che spesso si trascura quando si parla di argomenti così complessi e apparentemente astratti.

Ok, molto bella ma…a cosa serve questa funzione di partizione?

Probabilmente nella vita di tutti i giorni, a poco niente. Le partizioni hanno molte implicazioni in diverse aree dell’algebra, della fisica, della statistica, e dell’economia.

Se ti interessa approfondire l’argomento, ho trovato un paio di video davvero interessanti. Eccoli qui:

 

4 commenti

  • Angelo Raffaele Picoco

    Interessante articolo. Mi ha incuriosito e portato asviluppare la conoscenza di questa funzione. Grazie, continuate sempre con questo spirito. Apprezzo la vostra iniziativa, e da vecchio docente di matematica ormai in pensione, non posso che congratularmi con voi.

    • Grazie mille per l’apprezzamento, per il momento comunque sono da solo 😉
      Spero di leggere più spesso qualche tuo commento

  • Alfonso Musella

    Io consiglierei di fare proprio delle lezioni di matematica iniziando dalle espressioni algebriche solo cosi possiamo fare una seria ripetizione che sarebbe utile a risvegliare il cervello perché la matematica sta al cervello come l’olio sta al motore di un auto.
    Saluti a tutti e complimenti.
    Alfonso

    • Grazie per i complimenti e per il consiglio 🙂 Avevo già pensato di fare lezioni/ripasso dei principali argomenti dato che piacerebbe anche a me, ma per il momento, essendoci già molti siti e canali Youtube che fanno ciò (e molto bene..), preferisco dedicarmi alla parte più divulgativa concentrandomi su articoli più generali. Con ciò non escludo che verso metà 2017 possa aggiungere anche questo aspetto molto interessante, magari focalizzandomi sulla risoluzione delle principali tipologie di esercizi.

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