L’infinito: qualcosa di grande ma non troppo semplice

L’infinito. Una parola, un concetto complicatissimo, un qualcosa di grande che sta occupando i matematici da moltissimo tempo. Ogni volta che approfondisco qulche aspetto di questo argomento la mia reazione è una sola: “WOW!”. Stupore, non potrei reagire diversamente.

L'infinito

Quando per la prima volta mi parlarono di infinito, pensai fosse una cosa molto semplice. Beh cosa ci si può aspettare da un ragazzino delle medie a cui viene detto: “Beh, pensa ad un numero. Bene, ti assicuro che ne esisterà sempre uno più grande”.

Grande, mi dissi, meno male che me l’hai detto tu, non ci ero proprio arrivato. E’ scontato, dai..

Beh, col passare degli anni mi resi conto della cavolata che pensai in quel momento. L’argomento nel quale mi addentrerò con questo e numerosi altri articoli, è vastissimo e ricco di sorprese.

Iniziai a capirne la complessità, quando sentii parlare del famoso “Hotel di Hilbert”. Non c’è da stupirsi, dopotutto. Sono questi i due classici approci all’infinito che si è soliti vedere.

Se non hai mai sentito parlare dell’hotel di Hilbert, ecco qui un breve accenno. Sotto le prossime righe troverai anche un video esplicativo e il link ad un articolo che considero davvero ben fatto sull’argomento.

L’hotel di Hilbert

In una città meravigliosa, esiste un hotel con infinite stanze. Ognuna numerata con un numero naturale. Un giorno, l’albergo era completamente pieno. Arrivò quindi un viandante che chiese ospitalità. Il proprietario, tutt’altro che in difficoltà, disse agli ospiti di spostarsi nella stanza dopo la loro. Quindi chi era nella stanza numero 2 andò nella 3, e così via.. Il nuovo ospite si sistemo quindi nella stanza numero 1.

Il giorno seguente arrivò una comitiva di infinite persone. Il proprietario fu tutt’altro che in difficoltà anche in questa situazione .

Questi chiesero, c’è posto per  noi? Siamo in un numero infinito. Non c’è problema, disse il proprietario. Ora vi libero le stanze.

Disse quindi agli ospiti della sua struttura di spostarsi nella stanza avente il numero doppio di quella dove stavano soggiornando. Si liberarono quindi tutte le stanze dispari. Ossia, si liberarono infinite stanze, pronte per essere occupate dai nuovi ospiti.

Situazione ancora meno intuitiva, che potrebbe verificarsi in un mondo ideale è la seguente. Ci sono infiniti alberghi come quello appena presentato. Domani chiuderanno tutti, tranne 1. E’ possibile sistemare tutti gli ospiti nell’unico rimasto aperto?

Si, per farlo ci sono due strategie:

  • Proseguire come in precedenza infinite volte
  • Assegnare ad ogni ospite una coppia di numeri (a,b) dove il primo indica il numero dell’albergo in cui risiedeva, il secondo il numero della stanza. Ora, basta assegnare ad ogni ospite la stanza numero a+b. Ecco che tutti saranno accontentati,

Spero che non sia proprio la prima volta che senti parlare di infinito, perchè altrimenti ammetto che, se fossi nella tua situazione, mi sentirei un po’ smarrito di fronte a ciò che ho appena letto. In caso ti trovassi in queste condizioni, non disperare.

Bisogna sempre iniziare da qualche parte, ti consiglio quindi di leggere una volta questo articolo, capire il più possibile e seguire le indicazioni che ti darò poi riguardo ad opportuni approfondimenti.

Ti assicuro che questo è un argomento meraviglioso, in cui vale la pena addentrarsi e faticare. Detto ciò, proseguiamo.

Articolo interessante: Un Grand Hotel davvero accogliente

Bene, ora che ho introdotto l’argomento, posso spiegarti l’obiettivo di questo articolo. Siccome parlare dell’infinito in 1000 parole (o poco più) è un’impresa impossibile, ho pensato di dedicarvi vari articoli. In tal modo ognuno di questi potrà essere più mirato a qualche aspetto particolare, così da sviscerarlo il più possibile.

Oggi voglio parlarti dell’origine della necessità di parlare di infinito. Da quando è stato necessario passare dal contare le 10-20 pecore che avevano nel recinto a parlare di quantità infinite?

Effettivamente, egizi, babilonesi e nemmano maya, indiani e cinesi non hanno mai avuto alcun problema con l’infinito. Per loro non era nemmeno qualcosa di concepibile. Tutto ciò con cui la matematica e l’uomo dovevano avere a che fare erano quantità finite, nient’altro.

Come spesso è accaduto nella storia, i primi a parlare dell’infinito in matematica (e in filosofia) sono stati i greci. Nonostante avessero iniziato a parlarne, cercarono in ogni modo di evitarlo. Non per nulla nemmeno i loro Dei sono onnipotenti.

Ma come scusa?! Euclide non parlò di rette infinite nei suoi postulati? Niente affatto, lui parlò di rette prolungabili secondo necessità. Quindi anche nelle costruzioni geometriche si usavano solo entità finite.

Questo esempio, e molti altri, possono essere quindi riassunti dicendo che i greci usarono solo l’infinito potenziale. Si appoggiavano quindi alla possibilità di poter far crescere una quantità a piacere, rimanendo sempre e comunque fermi ad un valore finito.

Un altro esempio di questo concetto di infinito potenziale, è la semplice dimostrazione fatta da Euclide relativa alla quantità di numeri primi. Ossia “Data una quantità arbitraria di numeri primi, esiste un numero primo diverso da questi.”

DIMOSTRAZIONE:

Dimostrazione: Consideriamo il prodotto dei numeri primi dati ed aggiungiamo 1. Ottieniamo un numero, piu grande di ` 1, che da come resto ` 1 per la divisione con uno qualunque dei numeri primi dati. Tuttavia questo numero si fattorizza come prodotto di numeri primi, necessariamente diversi dai numeri primi dati all’inizio. Q.E.D.

Per Pitagora, la scuola eleatica, e i filosofi Parmenide e Platone, l’infinito era accettato come concetto, ma con un connotato negativo: era inaccessibile; impossibile da descrivere in termini finiti, pertanto caratteristico dell’irrazionale; era senza forma dato che non si poteva aggiungere nulla, ne togliere nulla, all’infinito.

COSA E L’INFINITO MATEMATICO?

Il pensiero di Aristotele: L’infinito esiste soltanto in un senso implicito ma non puo essere mai raggiunto. L’infinito nella matematica non è necessario in quanto i matematici hanno in realtà soltanto bisogno di quantità grandi quanto si voglia, e di costruzioni ripetute quante volte si voglia, ma mai di quantità infinite o di costruzioni infinite quale potrebbe essere il passaggio al limite. L’infinito non fa parte della matematica, è soltanto una conveniente abbreviazione.

Alcune delle informazioni che ho riportato qui sopra, sono prese da un interessante PDF disponibile online. Se ti interessa approfondire, ti basta lasciare la tua email qui sotto, ti reindirizzerò immediatamente al PDF prima citato.

Fin’ora abbiamo quindi visto come l’infinito sia stato una bestia nera nel corso dei secoli, tuttavia è stato molto spesso necessario “tirarlo in ballo”. Non è più sufficiente parlare di quantità finite, è necessario parlare di numeri e quantità infinitamente grandi. Ecco quindi il “concetto” di infinito. Il concetto di una quantità più grande di tutte, entità necessaria per comprendere svariate situazioni, fatti ed enunciati.

Un concetto fondamentale, associabile all’infinito è quello di limite. Ossia una valutazione del comportamento di una quantità, per variabili che assumono valori tanto grandi quanto vogliamo. In tal caso si può parlare anche di comportamenti di una quantità “in generale”, ossia comportamenti validi per variabili abbastanza grandi.

Faccio quindi un richiamo veloce al concetto di limite per x->infinito (x che tende ad infinito), giusto per avere un buon aggancio per i prossimi articoli. Quando si parla di limite per x->infinito di una funzione f(x), non si parla solitamente di quantità infinite. Si vuole determinare che valori assume f(x) per tutte le x>M, con M numero grande.

Ovviamente in queste ultime righe non ho detto niente, sono solo parole campate in aria. Prendile quindi con le pinze, soprattutto se è la prima volta che senti parlare di limite e di infinito. Avremo occasione di parlarne meglio in futuro.

Spero di averti illustrato abbastanza chiaramente i primi momenti della storia dell’infinito, che è ancora molto lunga e ricca di scoperte e problematiche. Tuttavia l’articolo è già troppo lungo per i miei gusti, quindi ho deciso di fermarmi qui. Con ancora moltissime questioni in sospeso e tanti punti interrogativi che immagino ti rimangano.

Ti consiglio comunque di lasciare la tua email qui sotto, riceverai una curiosità matematica ogni mattina (spesso parlo anche di infinito). Se decidi di iscriverti, riceverai immediatamente in regalo 50 indovinelli con soluzioni, non male come offerta direi 😉

2 commenti

  • Alfonso Musella

    Sono tutti molto interessanti per mantenere il cervello sveglio per più tempo rispetto a chi non legge mai e non si vuole mettere in gioco per paura di essere considerato ignorante,ma se non chiedi e non impari la considerazione cambia non hai solo paura ma sei un ignorante per sempre.Che cosa è l’ignoranza? e tutta l’umanità si può considerare ignorante. Perché
    ?

    • Grazie per aver commentato. Penso comunque che il tuo commento si riferisca all’articolo sui libri di matematica. Detto ciò, ti do un mio parere sull’argomento. Come molti in passato hanno già detto, più si impara più ci si rende conto di non sapere. Quando sapevamo meno di adesso in matematica, quando non conoscevamo l’esistenza di certe congetture, di certi teoremi, sembrava tutto più facile, tutto più chiaro. Questo discorso però, non vale solo nella matematica, ma in qualsiasi campo. E’ più o meno da 4-5 mesi che leggo quotidianamente libri di vario genere e sono felicissimo di aver abbandonato il mio rifiuto per la lettura. La lettura è conoscenza, voglia di abbandonare l’ignoranza imparando sempre di più. Ogni nuovo libro che porti a termine o che inizi, infatti risolve qualche dubbio ma ne fa nascere 100 altri, nonostante ciò, credo che tutti debbano leggere almeno un libro al mese.

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