Come è nata la probabilità – Il dilemma di De Méré (e una semplice risoluzione)

Probabilità

La probabilità è forse una delle branche della matematica più affascinanti e con i risvolti pratici più interessanti. L’idea alla base di questa disciplina è stimolante: indagare il caos e dargli una sorta di ordine, racchiuderlo tra le raffinate cornici matematiche per riuscire ad ammirarlo e tentare di comprenderlo.

La probabilità nella vita quotidiana

Oggi il calcolo delle probabilità ci pervade in molti contesti del nostro vivere quotidiano. Il meteo che controlliamo la mattina prima di uscire ci dà delle previsioni usando un linguaggio probabilistico. La distribuzione delle carte da gioco, così come delle tessere iniziali del Ruzzle con cui giochiamo nei nostri telefonini (o forse è ormai un gioco fuori moda?) sono calcolate usando strumenti probabilistici.

Le applicazioni ovviamente non si fermano qui, infatti anche lo studio dei mercati (come per esempio i famosi test Montecarlo), molti test ingegneristici e l’analisi di quelli che ultimamente ci piace chiamare Big Data si fondano sulla probabilità.

L’alba del calcolo probabilistico

Una delle peculiarità di questa materia è che possiamo determinare la sua nascita con un anno preciso, il 1654. Fu proprio in questa data che Antoine Gombaud Cavalier de Méré, un nobile francese, nonché accanito giocatore d’azzardo scrisse una lettera a due dei più grandi matematici del tempo per cercare di comprendere il motivo delle sue continue perdite nel gioco dei dadi.

I due matematici in questione erano Blaise Pascal e Pierre de Fermat (famoso anche per il suo celebre Ultimo Teorema). Il problema in questione, invece, era il seguente: lanciando un paio di dadi 24 volte si hanno più possibilità di vincita scommettendo a favore o contro il verificarsi di almeno un doppio sei?

(Provate pure a cercare una soluzione, prima di concludere l’articolo faremo un tentativo assieme!)

Con un modo di dire, in questo caso molto azzeccato, possiamo affermare che ormai “i dadi erano tratti”. Ricevuto l’input, i due pensatori iniziarono una corrispondenza sul tema che rapidamente si allargò ad altri matematici facendo sì che l’argomento diventasse molto dibattuto.

Quello che contraddistinse questo avvenimento dagli studi precedenti su problemi analoghi fu che, oltre a risolvere il problema nel suo caso particolare, si andarono a ricercare delle caratteristiche che accomunavano i vari problemi introducendo così i primi formalismi e le basi teoriche del calcolo della probabilità.

Sviluppi successivi 

Personalmente mi piace vedere la lettera di de Méré come un sasso lanciato in uno stagno. Inizialmente vediamo solamente una piccola pietra, ma in un batter d’occhio da quel punto si iniziano a formare una miriade di onde circolari.

A seguito del primo scambio epistolare tra il nobile francese e i due matematici gli sviluppi della materia avvennero, come le increspature d’acqua nello stagno, in tutte le direzione e per mano di numerosi (e grandissimi) matematici. Non potendo racchiudere in un articolo un enorme capitolo della storia della matematica mi limiterò a citarvi alcuni dei passaggi più importanti.

Inizialmente facciamo un piccolo passo avanti nel 1657 quando viene pubblicato “Tractatus de ratiociniis in ludo aleae”. Un’opera, scritta da Christiaan Huygens, che presenta la risoluzione formale del problema dei dadi e altri dilemmi come la ‘divisione delle parti’  e la ‘rovina del giocatore’ (non mi dilungo nella spiegazione di questi ultimi problemi, ma se ti incuriosiscono chiedi pure nei commenti. Il secondo è uno dei miei preferiti).

Successivamente, agli inizi del Settecento, Jakob Bernoulli enuncia e dimostra la ‘Legge Empirica del Caso’ o più comunemente detta ‘Legge dei Grandi Numeri’. Tralasciando l’enunciato formale diciamo volgarmente (perdonatemi formalisti 🙂 ) che questo è il teorema che ci assicura che se lanciassimo una moneta non truccata un numero elevato di volte la percentuale delle teste sarebbe molto simile a quella delle croci.

A questo punto ci avviciniamo all’Ottocento e immancabilmente arriva lui, Friedrich Carl Gauss (per capire meglio il mio immancabilmente clicca qui). Il matematico tedesco definisce la distribuzione normale, soprannominata anche distribuzione a campana per la sua forma caratteristica. Questa particolare distribuzione permette di dare una buona approssimazione di fenomeni casuali a valori reali concentrati intorno ad un singolo valore medio. Per questa sua caratteristica è usatissima in fisica ed è alla base della teoria degli errori.

Concludiamo infine il nostro piccolo viaggio con Kolmogorov che, nel 1933, diede alla probabilità una formulazione assiomatica definitiva. La stessa che si studia ancora oggi nei vari corsi universitari.

Risoluzione del problema di de Mèrè

Prima di lasciarvi volevo, come promesso, mettere con voi le mani in pasta e provare a capire come risolvere il problema dei dadi di de Méré (non sia mai che torni utile in qualche giocata con gli amici).

Per prima cosa enunciamo tre fatti basilari che ci permetteranno di risolvere il dilemma:

  1. La probabilità che un certo avvento accada si può calcolare semplicemente come rapporto tra i casi favorevoli e i casi totali. Come si può intuire questo valore è compreso tra 0 (nessuna possibilità) e 1 (evento certo).
  2. Se la probabilità che un evento A si verifichi è P(A), allora l’eventualità che A non accada è 1-P(A). Questo fatto si può facilmente intuire pensando che i casi totali sono dati dalla somma dei casi favorevoli e quelli sfavorevoli. Quindi 1-P(A) = (casi totali – casi a favore)/(casi totali) = (casi a sfavore)/(casi totali)
  3. La probabilità che due eventi non dipendenti tra di loro avvengano contemporaneamente è data dal prodotto di tali probabilità o, più formalmente, dati A e B indipendenti tra loro si ha P(A ∩ B) = P(A)*P(B)

Detto questo passiamo alla pratica!

Lanciando due dadi i possibili scenari sono (1,1); (1,2);..(4,1);(4,2)…(6,6) in tutto 36. Quindi la probabilità di ottenere un doppio 6 è 1/36 e di conseguenza la probabilità di non ottenerlo è 1 – 1/36 = 35/36.

Per ora abbiamo usato soltanto i primi due principi, non ci resta che usare l’ultimo e andare dritti alla soluzione.

Considerando che ogni lancio dei dadi non dipende da quelli precedenti (in gergo si dice infatti che il dado “non ha memoria”) possiamo misurare la probabilità di ottenere una coppia diversa da (6,6) in 24 lanci successivi come (35/36)^24.

Fatto questo abbiamo ottenuto il contrario di quello che volevamo, ma per sistemare le cose basta usare nuovamente la seconda proprietà: 1 – (35/36)^24 = 0.491404.

Scommettere sul doppio sei potrebbe costarci caro!

 

Questo è il mio primo articolo qui su MathOne. Ho deciso di iniziare con un tema a me caro e spero che il risultato ti sia piaciuto. Se hai qualche consiglio o vuoi chiedermi qualche approfondimento non esitare.

Il bello del blog è proprio la condivisione!

Marco

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