Numeri naturali: dalle pecore al concetto di numero

numeri naturaliI numeri naturali sono il primo insieme di numeri che andremo ad analizzare, sono quelli a cui sei probabilmente più legato. Quelli più semplici da approciare (apparentemente). Quei numeri che la maestra ti ha insegnato in prima elementare. La loro utilità, storia e struttura è molto interessante, abbiamo quindi pensato di analizzarli e iniziare una serie di articoli interamente dedicatia ai numeri. Per qualsiasi critica, richiesta o consiglio ti prego di contattarmi direttamente alla mail mathonelist@gmail.com oppure lascia un commento a questo articolo, lo leggerò sicuramente.

Partiamo quindi alla scoperta dei numeri naturali.

Breve storia

In genere quando le persone sentono la parola “matematica”, la prima cosa che gli salta in mente sono i numeri; la matematica in effetti è fondata sui numeri, pertanto in questo articolo cercherò di spiegarvi cosa sono i numeri naturali. Essi sono uno degli strumenti che ogni persona deve essere in grado di manipolare (almeno ai livelli base), perciò anche se non te ne intendi di matematica, ti assicuro che potrà interessarti questo articolo.

I numeri naturali sono i primi numeri con cui l’uomo ha avuto a che fare circa nel 300.000 a.C.; fin dall’antichità si sentiva la necessità di contare, di ordinare e di classificare. La conoscenza e l’uso del numero hanno avuto perciò, fin d’allora, una notevole importanza sociale: saper contare permetteva di misurare il trascorrere del tempo, enumerare le prede ottenute durante la caccia, registrare il numero di abitanti di una tribù, …

Ogni popolazione ha elaborato un proprio sistema di numerazione costituito da parole, simboli e regole per leggere e scrivere i numeri, ma per quanto riguarda il concetto di numero, inteso come quantità o “strumento per contare”, era lo stesso che intendiamo noi tutt’ora.

Tuttavia sono intercorsi più passaggi intermedi prima di capire cosa ci fosse in comune tra “tre pecore”, “tre alberi” e “tre sassi”. Solo quando si è arrivati a parlare di “numero tre” indipendentemente dal precisare “tre di che cosa” allora è iniziato uno sviluppo vero e proprio dell’algebra. Da allora il numero divenne un ‘oggetto’ autonomo, un concetto, e con i numeri si iniziò a operare.

Pure nei giorni nostri i numeri naturali costituiscono il primo “ambiente matematico” costruito e utilizzato dall’umanità. Il sistema di numerazione decimale che utilizziamo noi fu diffuso in Europa dagli Arabi, che lo acquisirono dagli Indiani alla fine dell’VIII secolo d.C.

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Classificazione dell’insieme

Ma ora passiamo alla classificazione dei numeri naturali.

Il loro insieme si indica con la lettera N, maiuscola e in carattere grassetto e si può rappresentare nel seguente modo:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…}

Se conosci già anche l’insieme dei numeri interi, puoi notare che l’insieme dei numeri naturali corrisponde all’insieme dei numeri interi positivi, che per ora chiamiamo con la lettera A maiuscola:

A = {0, +1, +2, +3, +4, +5,…}.

Ora, per una definizione un po’ più rigorosa in termini matematici, devo adoperare la teoria degli insiemi. Se volessi dare un’occhiata a quest’ultimo argomento, lascio un link qui di seguito:  http://www.ripmat.it/mate/j.html (qui troverai senz’altro ciò che cerchi).

 

In generale i numeri naturali sono le classi di insiemi che hanno la stessa cardinalità finita.

Cosa vorrà mai dire questa affermazione?? Per capirla ci serve spiegare alcuni concetti:

 

  • due insiemi hanno la stessa cardinalità quando possiedono lo stesso numero di elementi;

 

Ad esempio l’insieme B = {3, 7, 1} e l’insieme C = {21, 0, 1} hanno la sessa cardinalità perché possiedono tre elementi ciascuno, e non ci importa che gli elementi siano gli stessi o tutti diversi.

 

  • tra due insiemi che hanno la stessa cardinalità si può stabilire una corrispondenza biunivoca (funzione biiettiva), ovvero ad ogni elemento dell’insieme di partenza possiamo associare uno e un solo elemento dell’insieme di arrivo, in modo da esaurire tutti gli elementi dell’insieme di partenza e tutti gli elementi dell’insieme di arrivo. In questo contesto non ci interessa la logica con cui si associano gli elementi;
  • gli insiemi tra i quali si può stabilire una corrispondenza biunivoca si possono raggruppare in classi, che significa assegnare loro un’etichetta con su scritto il numero di elementi che possiedono.

Una volta capiti questi concetti viene normale pensare che i numeri naturali solo le classi di cui abbiamo appena parlato.

 

Un’altra definizione rigorosa dell’insieme dei numeri naturali è quella di John von Neumann, ma prima occorre conoscere gli Assiomi di Peano.

 

ASSIOMI DI PEANO

L’insieme N è caratterizzato dai seguenti dati:

  1. 0 ∈   (0 appartiene ai numeri naturali)
  2. Ogni n   N ha uno e un solo successore n’ ∈  N
  3. Per ogni n ∈   N,  n’≠0 (lo zero è il primo tra tutti i numeri naturali)
  4. Per ogni n, m ∈   N se m ≠ n ⇒   m’≠ n’ 
  5. Per ogni sottoinsieme S di N se:
  • 0 ∈   S
  • Per ogni n ∈   N, se n ∈   S ⇒   n’ ∈  S

 allora S=N .

L’assioma 4 afferma che due numeri naturali, sono seguiti dallo stesso se e solo se sono uguali. Perciò se due numeri sono diversi il loro consecutivo è diverso.

L’assioma 5 lo puoi trovare approfondito a questo articolo che ho pubblicato recentemente: Il principio di induzione.

Questi sono gli assiomi di Peano; il quinto è anche detto assioma di induzione; è necessario che l’insieme che tra poco costruiremo soddisfi queste condizioni per poter essere l’insieme dei numeri naturali. Per chi desiderasse approfondire l’argomento lascio qui di seguito un link utile: https://it.wikipedia.org/wiki/Assiomi_di_Peano.

Se magari sei già esperto sull’argomento o se non ne hai mai sentito parlare, questi assiomi ti sembreranno banali. Non lo sono per niente, è grazie ad essi che si possono concretamente costruire i numeri naturali.

DEFINIZIONE INSIEMISTICA DI N

Se supponiamo:

0 = { }, 1 = {0}, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, …

Cioè:

  • 0 = Ø
  • 1 = 0 U {0} = Ø U {0} = {0}
  • 2 = 1 U {1} = {0} U {1} = {0, 1}
  • n+1 = n U {n} = {0, 1,…, n-1} U {n}

 

OSSERVAZIONE

Essendo n = {0, 1,…,n-1} la cardinalità di n è n. Inoltre:

  • se m˂n↔mn
  • se m≤n↔mC (sottoinsieme proprio) n

Gli assiomi di Peano sono soddisfatti, pertanto l’insieme n coincide con l’insieme N dei numeri naturali.

Operazioni

Per quanto riguarda le operazioni che si possono costruire su un insieme generico va ricordata la seguente cosa:

sia A un insieme qualunque, si definisce * un’operazione di A se per ogni a, b ∈ A si ha che

*: AxA→A quindi (a, b)→c.

Ossia, possiamo definire un’operazione * in un insieme (quale quello dei numeri naturali), se applicando questa operazione a due elementi dell’insieme stesso, ne otteniamo un terzo ancora appartente a tale insieme di partenza.

Nel caso specifico dell’insieme dei numeri naturali si possono creare solo due operazioni, che sono la somma e la moltiplicazione; per quanto riguarda la sottrazione e la divisione non sono operazioni interne. 

Prova infatti a sottrarre 2 e 4 (in quest’ordine), otterrai -2, che non appartiene ai numeri naturali. Esiste quindi un esempio che ci permette di dire che la sottrazione non è operazione ad essi interna. Per quanto riguarda la divisione, basta dividere 1 per 3, otterrai 1/3 che è un numero  razionale (li vedremo più avanti), ossia un elemento non appartenente ad N.

 

Questa prima trattazione sui numeri naturali, che nasconde molti approfondimenti futuri, termina qui. Spero di aver soddisfatto i tuoi dubbi, se hai qualsiasi cosa da dirmi lascia un commento qui sotto o mandami una mail a mathonelist@gmail.com

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