Numeri perfetti? Numeri rari ma molto curiosi

Hai mai sentito parlare di numeri perfetti? Non stupirti se ti è nuova, anche io non sapevo cosa fossero prima di leggere il libro “L’ultimo teorema di Fermat” (trovi la recensione qui se vuoi).

Si parla di numeri perfetti riferendosi a quei rari numeri i cui divisori addizionati, danno esattamente come somma il numero in questione.

Per esempio il 6, ha come divisori 1,2,3 che sommati danno esattamente 6. Esso è quindi uno tra i pochi numeri perfetti. Fin’ora ti ho detto solo che sono rari, non ho però quantificato.

Beh, devi sapere che da 1 a 100.000 ci sono soltanto 4 numeri perfetti. Essi sono 6, 28, 496, 8128.

numeri perfetti

Curioso no?! Tranquillo, non finisce qui. I numeri perfetti furono infatti studiati dai Pitagorici.

Essi parlarono di numeri eccedenti difettivi nel caso in cui la somma dei divisori di un numero fosse rispettivamente maggiore o minore al numero stesso. Per esempio il 12 è un numero eccedente perchè  i suoi divisori danno come somma 16.

10 è invece un numero difettivo, dato che la somma dei suoi divisori è 8.

Pitagora enunciò un teorema, che poi Euclide dimostrò, il quale afferma che se 2^{n}-1 è un numero primo, allora 2^{n-1}x(2^{n}-1) è un numero perfetto.

Proviamo a verificare tale teorema con qualche esempio:

2^2 – 1 è primo, 6 = 2^1 x (2^2 -1) è perfetto!

2^3 – 1 è primo, 28 = 2^2 x (2^3 -1) è perfetto!

Analogamente per i successivi.

Eulero dimostrò inoltre che tutti i numeri pari perfetti devono presentarsi in questa forma appena annunciata.

Un ulteriore passo in avanti nello studio dei numeri perfetti fu compiuto da Nicomaco di Gerasa, filosofo neopitagorico vissuto verso la fine del I secolo d.C. in Palestina. Il punto di maggior interesse dei suoi studi relativi ai numeri perfetti, è un elenco di proprietà ad essi legate. Le fornì senza però le relative dimostrazioni:

1. L’n-esimo numero perfetto ha n cifre

2. Tutti i numeri perfetti sono pari

3. Tutti i numeri perfetti terminano con 6 e con 8 in modo alternato

4. Il cosiddetto algoritmo di Euclide genera tutti i numeri perfetti, ovvero tutti i numeri perfetti sono della forma 2 k−1 (2k − 1), per qualche k > 1, dove 2 k − 1 è primo

Queste proposizioni sono state prese in esame più volte nel corso del tempo e ancora lo sono. Al momento attuale ciò che possiamo dire con sicurezza è che le proprietà (1) e (3) sono false, mentre le altre non sono ancora state né provate né confutate.

Oggi i computer hanno continuato la ricerca dei numeri perfetti e hanno trovato esempi di numeri colossali come 2^216090 x (2^216091 – 1), un numero con più di centotrentamila cifre che obbedisce alla regola di Euclide.

Anche da un punto di vista religioso i numeri perfetti sono considerati significativi ed importanti. Nella cultura ebraica, per esempio, il Mondo era stato creato in 6 giorni e il calendario ebraico si basava sul mese lunare (28 giorni). Anche alcuni commentatori cristiani si sono concentrati sulla perfezione e rilevanza di tali numeri. Sant’Agostino scrisse: «Sei è un numero perfetto in sé stesso, e non perché Dio ha creato tutte le cose in sei giorni. Anzi è vero l’opposto: Dio ha creato tutte le cose in sei giorni proprio perché questo è un numero perfetto».

Nel corso degli ultimi secoli si sono scoperte anche altre proprietà interessanti ad essi legati. Se ti interessa approfondire l’argomento, scrivimi una mail dal modulo qui sotto dicendo che vuoi approfondire. Ti manderò il link di qualche contenuto che apprezzerai sicuramente 😉

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