Numeri primi: cosa sono, risultati importanti e alcune proprietà

Ciao, pronto per questo viaggio alla scoperta dei numeri primi?! 😉

Ero indeciso sull’argomento sul quale scrivere il nuovo articolo, ho quindi iniziato a scorrere quelli che avevo già scritto, notando come non vi fosse alcun post dedicato a questi numeri così particolari. Mi sono davvero stupito, ricordavo di aver già scritto qualcosa sui numeri primi in passato, e invece…

Beh, bando alle ciancie e vediamo di riparare subito 😉 Nella prima parte di questo articolo, che ti avviso già essere abbastanza lungo, scoprirai cosa sono i numeri primi (anche se penso ormai tu lo sappia già) e qualche informazione interessante sulla loro storia.

Proseguiremo poi con gli enunciati dei principali teoremi e risultati attualmente noti rispetto a questa classe di numeri per concludere quindi con alcune proprietà.

Ti consiglio di leggere tutto perchè qui e lì troverai degli spunti davvero interessanti e nascosto nell’articolo ci sarà anche il link per scaricare un PDF interamente dedicato a questo tipo di numeri che ho appositamente scritto.

Nel PDF potrai scoprire i principali problemi irrisolti relativi ai numeri primi e le principali applicazioni alla realtà dei numeri primi.

Insomma, penso tu abbia ormai capito che di informazioni ce ne saranno, quindi iniziamo! 🙂

numeri primi

Introduzione

Eccoci quindi alla prima parte, in cui approfondiremo il concetto di numero primo, alcune definizioni interessanti e alcuni problemi che si potrebbero avere in certe situazioni.

Prima di tutto vediamo di rispondere alla domanda cos’è un numero primo?

Beh, non è troppo complicato, è un numero naturale strettamente maggiore di 1 divisibile solo per se stesso e per 1.

Spero che questa definizione ti sia più o meno familiare, mal che vada potrebbe puzzarti il fatto che abbia specificato che debbano essere strettamente maggiori di 1. Ma questo lo approfondiremo tra qualche riga, non preoccuparti 😉

Qui sotto puoi trovare un’immagine con i più piccoli numeri primi.

numeri primi

Quindi per sapere se un numero è primo o meno cosa dobbiamo fare? Beh se il numero in questione non è troppo grande, non avremo molti problemi a definirlo primo o no.

Dobbiamo semplicemente trovare i suoi divisori e, nel caso in cui ne trovassimo più di 2 (ovvero 1 e il numero stesso), potremmo già concludere che tale numero è non primo.

Semplice no?

Per esempio il numero 343 è primo o no?

No, non lo è. Infatti è divisibile per 1, per 343 e anche per 7!

Il numero 83 invece, è divisibile solo per 1 e 83. Quindi possiamo concludere che esso sia primo.

Bene, torniamo al problema che avevo evidenziato prima. Perchè il numero 1 non compare tra i numeri primi? Dopotutto esso è divisibile solo per se stesso!

Beh, prima di proseguire ti enuncio un teorema molto importante.

Teorema fondamentale dell’aritmetica

Ogni numero intero maggiore di 1 non primo, può essere scritto come prodotto di fattori primi. Inoltre tale scomposizione in fattori primi è unica a meno dell’ordine.

Vediamo di sciogliere questo enunciato e di capire come esso ci porti ad affermare che 1 non sia un numero primo.

Allora, questo teorema non è complicato, sostanzialmente afferma che ogni numero naturale maggiore di 1, o è primo oppure lo possiamo scomporre. Come? Moltiplicando tra loro dei numeri primi.

Vediamo un esempio: 81 = 3 * 3 * 3 * 3 = 3^4

Oppure 56 = 2 * 2 * 2 * 7 = 2^3 * 7.

E così via…non è complicato. Ti consiglio di provare a scomporre un paio di numeri e passerà la paura 😉

Fin’ora abbiamo però trattato solamente la prima parte dell’enunciato. Il teorema afferma anche che, a meno dell’ordine, tale scomposizione è unica. Questo riflette la proprietà commutativa della moltiplicazione, niente di alieno.

Inizi a vedere il problema? Beh forse è un po’ nascosto, ma prima di parlartene, vediamo cosa accadrebbe se 1 fosse considerato un numero primo.

44 = 2 * 2* 11 = 2 * 2 * 11 * 1 = 1 * 2 * 2 * 11 * 1 …

Vedi che non ci sono sempre e solo gli stessi numeri moltiplicati tra loro? E’ proprio la caratteristica principale del numero 1, è elemento neutro rispetto alla moltiplicazione. Infatti qualsiasi numero moltiplicato per 1, rimane uguale.

Quindi, ormai penso ti sia chiaro, che se 1 fosse un numero primo, non varrebbe interamente il teorema fondamentale dell’aritmetica. Infatti la scomposizione in fattori primi non sarebbe più unica ma ve ne sarebbero infinite.

Ah dimenticavo, una cosa che potrebbe esserti utile, è sapere il significato di numeri coprimi. Niente di complesso, tranquillo..

Due numeri si dicono coprimi se non hanno divisori comuni diversi da 1 o, equivalentemente, se il loro massimo comun divisore è 1.

Detto ciò, penso di essermi spiegato abbastanza, facciamo una piccola pausa con questo video e poi passiamo ad una breve linea del tempo sui numeri primi 😉

Un po’ di storia

Parliamo ora di qualche notizia interessante sulla storia dei numeri primi. Non voglio assillarti con miliardi di informazioni, ma trovo molto utile contestualizzare ciò che stiamo scoprendo con le vicende storiche che ne hanno portato alla scoperta.

Quindi le prossime righe saranno molto sintetiche e dritte al punto, troverai il minimo indispensabile. Se come me sei interessato a saperne ancora di più, ti consiglio di documentarti su Google oppure contattami che ti giro qualche PDF interessante. Puoi farlo sulla pagina Facebook o mandandomi una mail qui: list@mathone.it 😉

Non è noto quando sia stato definito il concetto di numero primo, tuttavia un segnale che fa supporre una qualche consapevolezza della diversità di tali numeri è testimoniato dall’Osso d’Ishango, un reperto osseo datato al Paleolitico superiore, in cui compaiono dei segni rappresentanti i numeri primi compresi tra 10 e 20.

Il primo studio ( a noi noto ) sui numeri primi, risale al grande Euclide che nei suoi Elementi enuncia risultati davvero interessanti su questa tipologia di numeri. Lui presenta qui, il teorema dell’infinità dei numeri primi (che vedremo fra qualche paragrafo). Dimostra anche la possibilità di fattorizzare ogni intero positivo come prodotto di fattori primi (come visto prima).

Ai greci dobbiamo il crivello di Eratostene, un semplice algoritmo per determinare quali siano i numeri primi. Troverai qualche informazione in più nel PDF che puoi scaricare cliccando sul link qui sotto 😉

==> APPROFONDIMENTO NUMERI PRIMI <==

Dopo questi risultati, dobbiamo aspettare il 17° secolo per avere qualche novità sui numeri primi. In particolare dobbiamo questi nuovi teoremi a Pierre Fermat e altri matematici del secolo. In particolare egli provò un teorema sulle congruenze modulo un primo, noto come “piccolo teorema di Fermat” (lo scoprirai nella prossima sezione).

Altri risultati vennero ottenuti da Eulero nel corso del diciottesimo secolo: tra di essi vi sono la divergenza della serie infinita 12 + 13 + 15 + 17 + 111 + …, in cui gli addendi sono gli inversi dei numeri primi.

Da Eulero in poi ci sono stati molti sviluppi relativi alla teoria dei numeri primi, tuttavia i risultati raggiunti sono molto più complessi di quelli presentati in precedenza quindi non ritengo questo il luogo adatto per introdurli. Inoltre sarebbe troppo limitante nei confronti di Gauss e degli altri matematici che in questi secoli hanno contribuito al settore, ridurli ad un paio di righe 😉

Per il momento ti basti sapere che negli ultimi secoli si sono interessati in molti al prevedere come la frequenza dei numeri primi si comportasse al crescere del loro valore. Inoltre sono stati applicati a numerosi settori, come la crittografia. L’avvento di internet a permesso ai numeri primi di diventare ancora più importanti.

Comunque troverai qualche info in più nel PDF qui sotto. Se non del tutto soddisfatto contattami pure 🙂

==> APPROFONDIMENTO NUMERI PRIMI <==

numeri primiImportanti teoremi sui numeri primi

Oltre al teorema fondamentale dell’aritmetica, esistono moltissimi teoremi ed interessanti risultati riguardo ai numeri primi. In questo articolo ne vedremo 3. Uno dei quali te lo dimostro anche dato che la dimostrazione è molto semplice (potrebbe esserti utile questo articolo sull’infinito ).

Iniziamo subito!!

I numeri primi sono infiniti

“Data una quantità arbitraria di numeri primi, esiste un numero primo diverso da questi.”, ossia i numeri primi esistono in quantità infinita.

DIMOSTRAZIONE:

Siano p1,…,pn i numeri primi a noi noti. Consideriamo il prodotto dei numeri primi dati ed aggiungiamo 1. Ottieniamo così un numero (p1*..*pn +1), piu grande di 1, che da come resto 1 se divisio da uno qualunque dei numeri primi iniziali (p1,…,pn). Tuttavia questo numero è primo (in tal caso avremmo dimostrato l’esistenza di un (n+1)-esimo numero primo diverso dai precendenti) oppure si può fattorizzare come prodotto di numeri primi (teorema fondamentale dell’aritmetica) , necessariamente diversi dai numeri primi dati all’inizio. Quindi anche nell’ultimo caso esiste un (n+1)-esimo numero primo. Ovviamente il ragionamento si può replicare per ogni gruppo finito di numeri primi.

Q.E.D.

E’ proprio per questo teorema che si è passati dal chiedersi quale sia il numero primo più grande, al chiedersi come crescano questi numeri e con che frequenza si presentino. E’ infatti evidente come, più si salga nei numeri naturali, meno numeri primi si incontrano. Ma quanti? Eh..

Il piccolo teorema di Fermat

Spero che tu abbia già sentito parlare di Fermat, altrimenti puoi andare a leggerti l’articolo che ho scritto in passato riguardo alle vicende che si sono susseguite per arrivare alla dimostrazione di una delle sue tante congetture. Fermat è stato un grande matematico, viene definito il principe dei dilettanti, infatti nonostante la sua formazione riuscì a raggiungere risultati straordinari, anche nel campo dei numeri primi!

Ecco qui un suo noto teorema:

“Sia a un numero intero e p un numero primo, con a,p coprimi. Allora a^(p-1) = 1 (mod p).”

Nel caso tu non lo sappia, per 1 (mod p), si intende un numero che, diviso per p con la divisione euclidea, dà resto 1. Per esempio 3 = 1 (mod 2). Comunque è da tempo che progetto di scrivere qualcosa sull’aritmetica modulare, appena prenderò coraggio, lo farò.

Dietro questo teorema, vi sono moltissimi risultati interessanti, ti basti per ora sapere che questo è un caso particolare del teorema di Fermat-Eulero e che per dimostrarlo non occorre molto, a meno che si sappiano alcuni concetti algebrici che non voglio approfondire qui. Trovi comunque tutto su Google 😉

Se vuoi scoprire alcuni problemi irrisolti e numerose applicazioni dei numeri primi, ti consiglio di scaricare il PDF che ho creato cliccando sul link qui sotto.

==> APPROFONDIMENTO NUMERI PRIMI <==

Particolari numeri primi

Se il numero 2^m +1 e primo, allora m=2^n per qualche intero n.

Di teoremi ce ne sarebbero altri, ma per svariate ragioni (complessità, non me la sento di descriverli o altro…) ho deciso di limitarmi a questi 3 teoremi a mio parere interessanti.

Nella prossima sezione, che ho appositamente deciso di sviluppare maggiormente delle precedenti, troverai molte curiosità e proprietà interessanti sui numeri primi. Ho fatto questa scelta perchè è la sezione che io stesso avrei più voglia di leggere, quindi spero che i miei gusti rispecchino anche i tuoi, o almeno in parte 😉

Ma prima eccoti un altro video!

Proprietà interessanti sui numeri primi

Essendo che ho molte cose da dirti riguardo a questa sezione, faccio fatica a decidere un punto da cui partire. Quindi questa sezione sarà fatta di piccoli paragrafi più o meno indipendenti, in ognuno dei quali troverai sviluppata una proprietà/curiosità sui numeri primi. A te la scelta se leggerli tutti o fare una selezione in base al titolo che ho appositamente scritto in grassetto 😉

Numeri primi gemelli

Di numeri primi ce ne sono anche alcuni molto particolari, per esempio esistono i numeri primi detti gemelli. Ossia numeri primi separati da un solo numero pari. Per esempio sono primi gemelli il 5 e il 7. Oppure l’11 e il 13. Ovviamente due numeri primi non possono avere una differenza inferiore al 2, in quanto l’unico numero pari primo è il 2! Se sei uno attento, immagino che non ti sia scappato il fatto che l’unica coppia di numeri primi distati un’unità sono il 2 e il 3 😉

Il problema dell’esistenza o meno di infiniti numeri primi gemelli è da tanti anni uno dei più grandi problemi aperti della teoria dei numeri, che prende il nome di congettura dei numeri primi gemelli. Vi è anche una versione più forte, la congettura di Hardy-Littlewood, che postula una legge sulla distribuzione dei primi gemelli analoga al teorema dei numeri primi.

Qui trovi le prime 35 coppie di numeri primi gemelli.

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

Il numero primo più grande del mondo

Come penso tu abbia sentito, qualche tempo fa è stato trovato un numero primo più grande di quelli fino ad ora noti. Un traguardo a cui lavorano i più potenti supercomputer giorno dopo giorno. È stato scoperto di recente e conta più di 22 milioni di cifre, ma si tratta di un primato destinato comunque ad essere battuto.

Eccolo qui il numero di cui ti sto parlando: 274.207.281 – 1. Semplice no?! 😉

I numeri primi di Mersenne

I numeri primi sono interessanti anche se presi in gruppi, gruppi di numemeri che non solo sono associabili per primalità, ma anche per altre proprietà interessanti. Per esempio, i numeri primi di Mersenne, sono tutti scrivibili in questa particolare forma:

Mp = 2^p – 1.

Dove p è un numero primo. Si noti però che non per tutti i numeri primi p, il numero Mp è primo. Per esempio se p = 11, si ottiene il numero 2047 che non è primo, può infatti essere scritto come 23 * 89.

Talvolta nella definizione di questo particolare tipo di numeri primi, non si trova il vincolo che p sia primo, tuttavia si può dimostrare senza troppi problemi che se Mp è primo, lo è necessariamente anche p 😉 . Il nome a questi numeri venne dato dal matematico francese Mersenne.

I numeri primi di Mersenne sono collegati con i numeri perfetti. Nel IV secolo a.C. Euclide dimostrò che se Mn è un numero primo, allora {\displaystyle {M_{n}\cdot (M_{n}+1) \over 2}=2^{n-1}\cdot (2^{n}-1)} è un numero perfetto. Se non sai cosa siano i numeri perfetti, vai a leggerti l’articolo che ho pubblicato qualche tempo fa: Numeri Perfetti.

Pari e dispari

Come già introdotto in precedenza, tutti i numeri primi diversi dal 2 sono dispari. Infatti, se N fosse primo e pari, esso avrebbe almeno il 2 tra i suoi divisori, il che sarebbe evidentemente assurdo.

Numeri primi palindromi

Un primo palindromo è un numero primo che è anche un numero palindromo, ossia rimane invariato leggendolo da destra a sinistra. La palindromicità dipende dalla base del sistema di numerazione, a differenza della primalità che è indipendente dalla base. I più piccoli primi palindromi in base 10 sono:

2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, 18481, 19391, 19891, 19991.

Si può notare che nella lista non vi sono primi palindromi di 2 o 4 cifre, fatta eccezione per 11, quarto elemento della lista. Considerando il test di divisibilità per 11, si può facilmente dedurre che tutti i numeri palindromi con un numero pari di cifre sono divisibili per 11 e, quindi, non sono primi.

Non si sa se vi siano infiniti numeri primi palindromi in base 10.

Congettura di Goldbach

In matematica, la congettura di Goldbach è uno dei più vecchi problemi irrisolti nella teoria dei numeri. Essa afferma che ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi. Puoi trovare un intero articolo di approfondimento sulla congettura di Goldbach qui: Congettura di Goldbach.

Crivello di Eratostene

Ti avevo detto di inserire qualche informazione sul crivello di Eratostene nel PDF e ci sarà, ma ho ritenuto interessante condividere qui un video e spendere due parole sull’algoritmo che di per sè non ha nulla di complesso.

Il crivello è una specie di grosso setaccio e il crivello di Eratostene è proprio questo: un setaccio che serve a separare i numeri primi dai numeri composti.

Funziona in maniera semplice, ma non troppo efficiente, questione che però non ci interessa al momento. Esso è basato unicamente sulla definizione di numero primo e sul fatto che i divisori di un numero N sono necessariamente ad esso inferiori.

Ti consiglio di provare a trovare tutti i numeri primi da 2 a 100, non è difficile ma soddisfacente 😉

Conclusione

I numeri primi sono un meraviglioso mondo da scoprire, di cose da dire ce ne sarebbero ancora a valanghe, ma molte non le so e quindi solo per il fatto di volerle condividere nell’articolo dovrei fare copia-incolla da altri siti senza sapere ciò che sto scrivendo. Il che non avrebbe alcun senso. Altre cose ho invece appositamente deciso di evitarle in questa situazione. Spero quantomeno di averti incuriosito sui numeri primi, io mi sono davvero divertito a scrivere questo articolo, consolidando le cose che già sapevo e approfondendo anche qualche dettaglio.

Se hai ancora voglia di sapere, ti consiglio di scaricare il PDF che ho preparato sempre sui numeri primi, in cui però mi concentro su qualche problema irrisolto e alcune applicazioni alla realtà davvero interessanti.

Lo puoi scaricare da qui:

==> APPROFONDIMENTO NUMERI PRIMI <==

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