Numero di Nepero: curiosità, storia e molto altro

I numeri sono uno strumento spesso utilizzato in matematica. Nonostante non siano il focus principale della matematica, quella vera intendo 😉 , ritengo importante condividere la storia e qualche informazione interessante sulle principali costanti numeriche e numeri interessanti. Iniziamo questa serie, probabilmente interminabile, di articoli sui numeri.

Qual è il miglior modo di iniziare la raccolta di articoli? Probabilmente non ce n’è uno più interessante di altri, io però apprezzo molto il numero di Nepero ed il Pi Greco (che sarà il prossimo 😉 ). Pertanto ho deciso di inizare da qui, per qualsiasi dubbio o chiarimento, non farti problemi a mandarmi una mail a list@mathone.it o lasciare un commento qui sotto.

Buona lettura.

numero di nepero

Storia e utilizzi

Insieme a Pi greco e all’unità immaginaria i, il numero di Nepero è uno dei numeri più affascinanti della Matematica.

Viene chiamata costante di Nepero, in onore del matematico scozzese John Napier perché sua è l’introduzione dei logaritmi. Talvolta viene definito numero di Eulero perché egli fu il primo ad indicare tale costante con la lettera e.

Il numero e è un numero non periodico, irrazionale  (non esprimibile con una frazione) e trascendente (cioè non può essere ottenuto come soluzione di alcuna equazione polinomiale a coefficienti razionali).

E’ un numero che gioca un ruolo fondamentale non solo in matematica, ma in tante applicazioni. Ad esempio nello studio del decadimento radioattivo, della crescita di una popolazione, della diffusione di un’epidemia e soprattutto di problemi economici.

 

Tempo di decadimento radiattivo:

 

N= Atomi radioattivi finali N0= Atomi radioattivi iniziali                                

t= Tempo trascorso τ= Emivalore dell’atomo radioattivo

Iperbole equilatera 1/x  :

 

L’area sottesa tra l’iperbole e i punti (1;0) (e;0) è uguale a 1

Il primo riferimento ad e in letteratura risale al 1618 ed è contenuto nella tavola di un’appendice di un lavoro sui logaritmi di John Napier. Nella tavola non appare la costante, bensì un elenco di logaritmi naturali calcolabili a partire dalla costante. La prima espressione di e come una costante è stata trovata da Jakob Bernoulli (uno dei tanti della famiglia 😉 ):

Da questa espressione è difficile ricavare un buon valore numerico per la costante.

La sua prima citazione, rappresentata con la lettera e compare in due lettere di Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens, del 1690 e del 1691. Leonhard Euler  ha iniziato ad usare la lettera e  per la costante nel 1727 e il primo uso di e compare nella Mechanica di Eulero (1736).

 

Negli anni seguenti alcuni ricercatori hanno usato la lettera e, poi l’uso di e si è fatto più comune. Oggi è usato come simbolo definitivo.

Si sostiene che e fosse usata:

  • dai Greci, per la costruzione del Partenone,
  • dagli Egizi, per la costruzione della Grande Piramide.

In realtà in queste costruzioni si trovano due lunghezze tipiche che hanno come rapporto il suo valore.

Per calcolare il valore di questo numero, esistono essenzialmente 2 metodi.

Il primo si basa sull’espressione:

Più grande è n, più questa espressione approssima il valore di e.

Per esempio,
per  n = 1000, troviamo il valore 2,7169239322358924573830881219476….
per  n = 10000, troviamo il valore 2,7181459268252248640376646749131….
per  n = 100000 troviamo il valore 2,718268237174489668035064824426….
per  n = 1000000 troviamo il valore 2,7182804693193768838197997084544….
e così via.

Si può dunque affermare che il valore numerico di e è:

Il secondo metodo si basa su di un’identità che coinvolge i fattoriali.

Nel caso di e vale questa relazione:

Se sei un po’ più avanzato con gli studi della matematica, sai che questo è anche lo sviluppo in serie di Taylor del numero di Nepero.

Quindi e non può essere espresso sotto forma di frazione, ma, col metodo delle frazioni continue, si possono ricavare frazioni che approssimano sempre meglio il suo valore.

Prima di procedere con l’ultima curiosità, ti consiglio di guardare questo video davvero interessante 😉

Curiosità

 

e ^iα = cos α + i sin α

Questa è la formula di Eulero

Se α=Pi

e ^iPi + 1 = 0


Essa rappresenta una specie di totem della conoscenza matematica poiché contiene i cinque numeri fondamentali: 

0           lo zero, senza il quale la moderna notazione posizionale non sarebbe possibile;
1             il primo numero della successione dei numeri  naturali;
Pi            il rapporto tra circonferenza e diametro;
e        il numero di  nepero, base dei logaritmi naturali;
i             l ‘unità immaginaria;


Contiene anche le operazioni fondamentali: prodotto, somma  e il segno di uguaglianza; e pone in relazione la Geometria e l’Algebra, attraverso Pi,  numero fondamentale per la geometria euclidea, e i, unità immaginaria.

Ci sarebbe molto altro da dire su questa costante, ma prefersco non caricare con troppe informazioni questo articolo. Magari approfondirò qualche suo aspetto in futuro.

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9 commenti

  • Giuseppe Luciano Ferrero

    –prima di segnalarle una anomalia della formula di Bernoulli che ha indicato richiamerei la sua attenzione sul vostro sistema informatico che mi rende onerosa l’iscrizione perché esige che si passi da facebook , fatto che detesto.
    Mi accontento di segnalarLe due questioni:

    A)
    Il valore di -( e ) oscilla nella sua mantissa dopo il gruppo ,0718 28 quando n=514229 che corrisponde al 29° numero della serie Fibonacci;
    al 37 ° numero della serie(n= 24.157817 ) la mantissa è, = 0,717 088338.
    Dunque, nessuno si è chiesto perché avviene tale variazione? Certamente nessuno si era spinto fin là.
    Riguardo invece alla Serie con i numeri fattoriali al denominatore di frazioni, a partire da 1/0! +1/1! + 1/2! fino al denominatore + 1/ 12! ho accertato che il valore di (e )si attesta al valore delle macchinette calcolatrici = 2,718 28 18 28
    Le due formule non sono equivalenti e i matematici dovrebbero spiegare perché non lo sono.
    In ogni caso questa divergenza nelle due formule mi dice che il “limite”( e ) non tende all’infinito ma si accontenta di essere incerto.
    Infine ,questo fatto mi ha indotto a credere che tale valore di( e )si dovesse/ potesse trovare nella suite di Fibonacci ed ecco cosa ho trovato considerando un triangolo retto con ipotenusa radice di 5 ed i cateti pari a 2 e 3 che appartengono alla serie fibonacci il. cui phi entra nella formula.
    e= 2+ ( (1/ ( 3+2+ ( ⎷5) ^3) )^ – 1/5) = 2 +(( 3+2+ (0,236..)^3)^ -1/5= 2+((5+( 1/1,618..)^3)^-0,20= =2+0,718 125043.. = 2,718…. e per i calcoli non troppo raffinati potrebbe bastare.
    Cordialità
    li, 20 febbraio 2017 (lunedì)
    Borgone Susa (to)

    • Grazie mille per il commento e scusi per il ritardo della risposta. Comunque per l’iscrizione non è per nulla necessario Facebook, le basterà inserire la sua email nella pagina che inserisco al termine del commento e riceverà come regalo un PDF con 50 indovinelli ed una mia email quotidiana legata alla matematica.

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  • Giuseppe Luciano

    grazie per il riscontro “parziale” ma mi attendevo una risposta sul contenuto!
    Cordialità.
    li, 03 marzo 2017

    • Voglio provare a rispondere alle domande di contenuto che mi ha fatto, ma non riesco a capire quali siano le domande in sè, può provare a riformularle? Avevo appositamente evitato di coinvolgerle nello scorso commento ma voglio vivamente provare a risponderle, se solo mi chiarisce ciò che cerca.
      Saluti

  • Giuseppe Luciano

    forse sono stato prolisso:
    le chiedevo se si può spiegare perché la costante ( e) di Eulero, a seconda della formula di applicazione ,offre un risultato diverso nella mantissa dopo il primo gruppo.( 0 ,718. ).

    • Ok, allora il valore del numero di Nepero non è che cambi al variare del metodo utilizzato per approssimarlo, dato che così siamo obbligati a fare vista la sua irrazionalità. C’è però da dire che a seconda del metodo utilizzato (serie, limite o altri..) la velocità con la quale convergeremo ad una precisione superiore varierà. Quindi potrà sempre ottenere il numero di Nepero con precisione 1e-10 ma se usa un metodo le serviranno 10 passaggi, se ne usa un altro magari 100..
      Se vuole mi mandi una mail che posso inoltrarle un’immagine che chiarisce un po’ il tutto 😉 Può mandarla a list@mathone.it

      • Giuseppe Luciano

        grazie per il riscontro; farò seguito con una paginetta che le spiega il perché della domanda.
        cordialità,
        li, 5 marzo17

        • giuseppeluciano

          –,devo ammettere che la sua risposta ,di alcuni giorni fa, mi ha lasciato perplesso se non insoddisfatto!soprattutto quando ha fatto cenno alla “velocità” di convergenza al risultato ,che non dev’essere un’esigenza ma semmai una possibilità.
          Tenga presente che una volta conosciuta/calcolata la costante (e )non c’è alcuna necessità di inventarsi come ricalcolarla.
          Dunque, torno alla questione per offrirle la possibilità di correre velocemente verso (e) che è governata da una formula algebrica i cui componenti sono costituiti da quattro “Numeri Primi “della serie Naturale ,che offrono un risultato della costante di Nepero che è certamente sufficiente per i calcolati meccanici e similari : e = 2,718 125043…..
          E ,fatto sorprendente ,che per il momento non ho ancora perfezionato, essa costante ha una propria rappresentazione geometrica a dispetto di quanti affermano che la costante non può averla perché si tratta di una funzione che esprime una crescita etc.
          Sono curioso di vedere il prossimo suo commento poi le invierò la soluzione dell’indovinello.
          cordialità,
          li, 157marzo/2017

        • giuseppeluciano

          il bello è che la costante di Nepero è sempre esistita ma bisognava scovarla nella nicchia dei numeri primi; ed eccola:

          e= (+-) 2+ (1/ (3 + ⎷5)^ 1/5 = 2,718 123 178

          PS) -osservi la singolarità della mantissa dopo il 718 ,c’è un filotto di numeri naturali 1,2,3 (la trinità dei numeri primi) poi 1,7,8; che richiama il primo gruppo della mantissa.
          Non mi si venga dire che tale ordine sia ,è un caso singolare e non un ordine trascendente.
          Infine ,questa è la formuletta mista di numeri naturali ed esponenti di potenze ma il risultato è un numero irrazionale e trascendente! Che ci si poteva attendere fra numeri primi?
          Inoltre essa formuletta ha una rappresentazione geometrica in un triangolo retto inscritto in un semicerchio di raggio = e ; a sua volta tangente ad un cerchio eccentrico circoscritto ad esso e di raggio 0,5.
          Se gradirà chiedermi il disegno glielo manderò.
          saluti

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