Preda-predatore: analisi del problema e modello semplificato

La dinamica preda-predatore è molto interessante. Essa è tipica di un qualsiasi ecosistema in cui ci sono prevalentemente 2 specie di animali. Per tutto il resto dell’articolo supporremo di analizzare una situazione che si verifica nella savana, per esempio tra i ghepardi e le zebre.

In questo contesto abbiamo quindi delle prede (le zebre) e dei predatori (i ghepardi).

Perfetto, l’obiettivo che ci poniamo con le seguenti righe è modelizzare una situazione di questo tipo, così da poter prevedere i regimi di crescita che caratterizzano entrambe le specie.

Ovviamente questa dinamica può essere influenzata da moltissimi fattori, ma a scopi introduttivi la semplificheremo notevolmente, così da poterci ricondurre all’utilizzo del famoso modello di Lotka-Volterra. Esso infatti è in grado di descrivere questo contesto con un grado di precisione interessante 😉

Iniziamo con le dovute premesse.

Innanzitutto stiamo analizzando un SISTEMA DINAMICO, ossia un sistema in cui la conformazione che assumono gli ‘oggetti’ in gioco, varia nel tempo. Per esempio, nel nostro esempio, si parla di sistema dinamico in quanto la percentuale delle zebre rispetto al totale della ‘popolazione’ varia in funzione del tempo (analogamente per i ghepardi).

Come caratterizzare i mutamenti che si verificano in un sistema dinamico? Solitamente lo si fa’ con un equazione differenziale (nel caso più semplice), appena il contesto si fa un po’ più complicato, si passa inevitabilmente a sistemi di equazioni differenziali, spesso non lineari.

Nel nostro esempio, andremo ad analizzare il sistema con un sistema di 2 equazioni differenziali non lineari del primo ordine. Inoltre abbiamo un’evidente semplificazione del modello di Lotka-Volterra dovuto al contesto al quale lo stiamo applicando.

Stiamo infatti parlando di animali, ossia qualcosa di concreto e numerabile in quantità intere positive. Quindi possiamo già supporre di ragionare con variabili non negative 😉

Perfetto, direi che ora possiamo iniziare a trattare il vero problema!

Descrizione del problema Preda-Predatore

Il problema che andremo ad analizzare è molto concreto. Siamo nella savana, ci limitiamo ad analizzare un’area ben precisa in cui ci sono due popolazioni, di cui una è nutrimento dell’altra. Per semplificarci i discorsi, andremo a ragionare con ghepardi e zebre.

Utilizziamo poi la variabile per indicare il numero di prede, mentre la variabile per indicare il numero di predatori.

Risulta intuitivo come, qualunque relazione andremo ad introdurre, la dinamica da descrivere andrà a contrapporre gli aumenti delle due popolazioni.

Ossia, ci sarà un periodo in cui le prede aumentano e di conseguenza anche i predatori in quanto hanno più nutrimento.

Seguirà un punto ‘critico’ in cui le prede non saranno più sufficienti per sfamare i nuovi predatori, che quindi diminuiranno.

Di conseguenza le prede possono riprodursi maggiormente senza rischiare di essere decimate, aumenteranno quindi.

Per chiudere il ciclo e tornare ad una situazione analoga a quella iniziale, le prede saranno ora sufficienti per sfamare più predatori e quindi farli aumentare in numero.

File:Lotka Volterra equation Maple plot.png

Abbastanza semplice no? 🙂

Modello di Lotka-Volterra per descrivere il problema preda-predatore

Senza un modello, è difficile descrivere abbastanza accuratamente una situazione. E’ proprio questa la bellezza dei modelli, sono quasi come degli stampi in grado di chiarire più contesti diversi ma affini per qualche caratteristica.

Ecco, il modello di Lotka-Volterra, è in grado di chiarire il problema preda-predatore, evidenziando le dinamiche che si verificano tra queste due popolazioni antagoniste.

Ecco qui il sistema che definisce questo modello:

preda-predatore

Dove ‘x’ ed ‘y’ sono entrambe positive per ciò detto prima. A,B,C,D sono delle costanti che variano in funzione della coppia di popolazioni in analisi, praticamente servono a ‘pesare’ l’effetto che ha una popolazione sull’altra. Ma questi sono dettagli, in questo articolo ci poniamo l’obiettivo di comprendere a grandi linee come e perchè questo modello è in grado di aiutarci ad analizzare il problema preda-predatore.

Per analizzare più approfonditamente questo modello sono necessari concetti un po’ più avanzati quali quello di stabilità, invariante, integrale primo e il teorema di Dini. Magari, se noto che in più d’uno siete interessati ad una trattazione più approfondita, posso provare a dedicarvi un articolo, magari introducendo con qualche premessa le basi di questi concetti (fatemelo sapere per mail o nei commenti 😉 ).

Notiamo una cosa, prima di avanzare..supponiamo che i predatori (y) non esistano. Il problema si semplificherebbe quindi notevolmente.

Il sistema si ridurrebbe ad una sola equazione, la prima delle due di prima, nella quale Y sarebbe pure uguale a 0. Da ciò si ricava come le prede (x) crescerebbero esponenzialmente. Cosa assolutamente intuitiva. Simmetricamente i predatori (y), se le prede (x) non ci fossero, decrescerebbero sempre esponenzialmente.

Si può poi notare come il tasso di crescita delle prede sia ridotto in misura proporzionale al numero dei predatori (come avevamo anticipato nelle premesse).

Infatti, sviluppando il prodotto nella prima equazione, si nota come compare un termine -Byx , ossia più sono le prede, più lenta sarà la crescità di x (se non vai molto d’accordo con le derivate, ricordati che con x' o dx/dt si indica come varia il numero di prede in funzione del tempo).

Una conformazione particolare del modello

Un caso interessante è quello in cui Byx è più grande di Ax, infatti in tali circostanze avremo un aumento negativo delle prede, ossia le prede diminuiranno 😉

Andiamo però a vedere cosa succede ai predatori nel caso in cui le prede diminuiscano, così da poter confrontare gli effettivi riscontri che possiamo verificare nella realtà (osservando ghepardi e zebre nella savana per esempio) con gli esiti fornitici da questo modello matematico. Ricordiamo infatti che un modello è utile per rappresentare ed analizzare la realtà fintanto che esso fornisce risultati compatibili con il contesto reale 😉

Ok, vediamo quindi come si comportano i predatori (y) se seguiamo il modello. Evidentemente anche qui abbiamo una diminuzione della velocità con cui il numero dei predatori aumenta proporzionale alla diminuzione delle prede. In altri termini più x è ‘grande’ più veloci crescono i predatori, infatti nella seconda equazione compare un termine Cx 🙂

C’è una corretta differenza nella seconda equazione rispetto alla prima, infatti se la si guarda bene si noterà come la velocità di crescita dei predatori diminuisce proporzionalmente al numero di predatori che sono presenti. Compare infatti un termine -Dy. Come mai è utile avere un termine del genere?

Beh, è molto semplice, più predatori ci sono, meno l’aumento di C prede sarà ‘utile’ a far aumentare il numero di predatori. In termini pratici, se ho un predatore e 2 prede, è molto più rapida la crescita dei predatori piuttosto che nel caso ci siano già 10 predatori. Infatti questi dovrebbero spartirsi le due prede, non molte due zebre per 10 ghepardi no? 😉

Con ciò abbiamo fatto un’analisi abbastanza generale del problema e delle motivazioni che ci portano ad affermare che il modello di Lotka-Volterra sia efficace per analizzare questo problema.

Prima di concludere voglio però aggiungere due importanti analisi:

  1. L’esistenza di un equilibrio
  2. La ciclicità del modello

Non sono proprio due dettagli, meriterebbero più spazio, ma mi limiterò ad accennare l’importanza di questi due aspetti ed il loro legame con la realtà.

Esistenza di un equilibrio

Cosa si intende per equilibrio? Qui ce ne sarebbe da dire, ma in termini pratici si intende equilibrio nel piano, dato un sistema dinamico su esso definito, una coppia ordinata (a,b) tale che, il sistema valutato in x=a e y=b, porta ad avere come risultato il vettore (0,0).

In termini piu’ formali e generali Dato un sistema autonomo 

,

il vettore x0 è un punto di equilibrio se

.

Mentre in termini più concreti, diciamo (a,b) equilibrio se in esso la x e la y non variano, avremo infatti x’=y’=0.

Esiste quindi un punto con queste caratteristiche nel nostro modello di Lotka-Volterra? Sì, esiste. Il punto ha coordinate (D/C,A/B). Se proviamo infatti a sostituire, risulta esattamente x’=0 e y’=0.

C’è un altro punto di equilibrio, forse meno interessante in quanto è un caso molto estremo, ed è il punto (0,0). Infatti anche in questo caso avremo x’=y’=0.

Quest’ultimo corrisponde all’estinzione di entrambe le specie: se le due popolazioni hanno 0 individui allora continueranno ad avere 0 individui in ogni istante successivo.

Il primo equilibrio corrisponde invece alla situazione in cui i predatori incontrano e mangiano, in ogni unità di tempo, un numero di prede esattamente uguale al numero di prede che nascono, e questo numero di prede corrisponde proprio alla soglia critica di cibo che fa rimanere stazionaria la popolazione dei predatori.

La popolazione di prede e predatori non varierà quindi in nessuno dei due precedenti casi 😉 Figo, no?

Ci si può spingere oltre, analizzando la stabilità di questi punti che è parecchio interessante. Ma preferisco non mettere troppa carne al fuoco, per il momento ti basti sapere che l’estinzione è una condizione molto difficile a meno di non partire in questa condizione.

Può accadere solo se le prede vengono estinte completamente in modo artificiale, provocando la morte dei predatori a causa della mancanza di cibo. Se invece sono i predatori ad essere estinti, la popolazione delle prede cresce senza limite in questo semplice modello.

Sulla ciclicità del modello di Lotka-Volterra

Si può dedurre che in una situazione generica con due popolazioni iniziali x ed y il sistema ha un comportamento oscillante che torna periodicamente nello stato iniziale, con oscillazioni anche molto grandi.

Cosa vuol dire? Beh, semplicemente il sistema è destinato a tornare alla condizione di partenza dopo tempistiche più o meno prolungate.

Qui non mi interessa tanto approfondire le tecniche che si possono utilizzare per evidenziare tale periodicità del modello, seppur interessanti, mi interessa però far notare come tale modello sia una semplificazione della rispettiva situazione reale.

Infatti ciò che si va a considerare in questo modello, è una situazione in cui, idealmente, ci siano solo e solamente queste due popolazioni, nessun fattore esterno influente sull’andamento delle loro rispettive crescite. Come esse fossero isolate dal mondo esterno, beh in tal caso si può notare la periodicità del sistema. Ovviamente però nella realtà non è sempre così!

Supponiamo per esempio di essere in un contesto non ideale (con fattori terzi in gioco), con una sitazione iniziale dotata di 10 zebre e 5 ghepardi. Bene, supponiamo che si aggiunga al ‘gioco’ una terza componente, 10 bracconieri vanno in battuta di caccia.

Per semplità, supponiamo anche che questi bracconieri siano così bravi da riuscire ad uccidere tutti i ghepardi, prima che questi riescano a mangiare qualche zebra.

Perfetto, cosa succederà adesso? Eh, avremo y=0, e come visto all’inizio dell’articolo, ora le prede (x) cresceranno esponenzialmente!

Strano, no?! Non dovevamo tornare periodicamente alla situazione iniziale? Beh, qui chiaramente non ci torneremo mai dato che in nessun modo potremo passare dall’avere 0 ghepardi ad averne qualcuno e dato che ora le zebre stanno crescendo libere ed esponenzialmente 😉

Esempio se si vuole stupido, ma che penso possa chiarire il grado di semplificazione che abbiamo fatto trattando questa problematica con il modello di Lotka-Volterra.

Comunque direi che è molto interessante come analisi, soprattutto se fatta con qualche strumento in più così da avere informazioni più accurate sulle velocità di crescita e punti critici.

Se sei interessato ad una trattazione più avanzata, fammelo sapere 🙂

Per questo articolo è tutto!

 

Un commento

  • Rodolfo Ambrosetti

    Il futuro genero di Volterra era un biologo marino interessato al problema della pescosita’ delle acque italiane. Una discussione serale sul problema sollecito’ Volterra a definire il suo famoso modello. E’ interessante mostrare anche la rappresentazione bidimensionale dell’evoluzione del modello stesso che mette in ancora piu’ chiara evidenza la sua ciclicita’ .

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