Sistemi di numerazione: In che base conti?

I numeri sono uno degli strumenti più utilizzati dalla matematica, soprattutto da quella insegnata fino alle superiori. Dopo iniziano ad essere un po’ meno rilevanti, ma comunque utili.

sistemi di numerazione

Ma lo sai che un numero può essere espresso in vari modi? Si, infatti noi siamo abituati a contare utilizzando la base 10. Però, non è detto che sia quella più giusta da utilizzare in certe occasioni. Per esempio i computer utilizzano la base 2…

Vediamo però di fare un po’ d’ordine. Ti ho infatti parlato di base e della possibilità di contare in maniera diversa. Non è però detto che tutti abbiano già sentito ciò di cui ti sto parlando.

Ecco quindi una dovuta premessa.

Che cos’è un sistema di numerazione?

Un sistema di numerazione è un modo di esprimere e rappresentare i numeri attraverso un insieme di simboli. Per esprimere e rappresentare i numeri, però, va determinato a priori il criterio secondo cui li si vuole esprimere. Lo sapevi infatti che, in due sistemi di numerazioni differenti, il 3 può essere uguale a 11?!

Un sistema di numerazione può essere anche distinto in base alle modalità secondo cui vengono costruiti numeri consecutivi in sistema posizionale o additivo.

A grandi linee si può dire che nel passato sono state adottate svariate notazioni numerali in gran parte poco razionali, fino a giungere con una certa fatica alle notazioni oggi più diffuse, pratiche e canoniche, le notazioni posizionali decimali. Con lo sviluppo del computer si sono posti altri problemi che oggi sono padroneggiati in modo abbastanza soddisfacente. Dalla metà del XX secolo si sono quindi precisati sistemi di numerazione adatti non solo agli esseri umani, ma anche alle macchine.

Per soddisfare certe esigenze accanto al sistema canonico vengono considerati alcuni sistemi particolari che presentano alcuni pregi pratici e un certo interesse matematico.

I sistemi di numerazione si riferiscono quindi alla successione dei cosiddetti numeri naturali. Per ovvi motivi, i più antichi sistemi di numerazione hanno base dieci, con riferimento all’atto di contare con le dita delle mani.

Possono essere di tipi differenti: per esempio, gli antichi Romani usavano un sistema basato essenzialmente sul numero cinque (vedi numeri romani), additivo e non posizionale: il simbolo X rappresenta sempre il numero dieci, V il numero cinque, e così via; invece, il comune sistema decimale che tutti impariamo a scuola, è di tipo posizionale: ogni cifra assume un significato diverso a seconda della posizione in cui si trova (unità, decine, centinaia, ecc.); i sistemi di tipo posizionale ci sono stati tramandati dagli Arabi.

Per una definizione più formale di sistema di numerazione posizionale:

  • si sceglie un qualsiasi numero naturale b (diverso da zero e da uno), che chiameremo base
  • si scelgono b simboli diversi, che chiameremo cifre
  • si compongono i numeri tenendo presente che il valore di ogni cifra va moltiplicato per:
    • b0 cioè 1 (unità) se è l’ultima cifra alla destra del numero che stiamo considerando
    • b1 cioè b se è la seconda cifra da destra,
    • b2 se è la terza cifra da destra,
    • e così via, b(n-1) se è la n-esima cifra da destra
  • la somma di tutti i valori così ottenuti è il numero che stiamo considerando
2003_{{10}}=2\times 10^{3}+0\times 10^{2}+0\times 10^{1}+3\times 10^{0}1100_{{2}}=1\times 2^{3}+1\times 2^{2}+0\times 2^{1}+0\times 2^{0}=8+4=12_{{10}}

Come penso tu abbia già notato, nelle precedenti righe ti ho parlato di base. Ma cos’è una base?

Riducendo all’osso il suo significato, possiamo dire che la base è un numero naturale n. Questa definisce, in soldoni, il numero di simboli che possiamo utilizzare per esprimere un valore.

Se quindi decidessimo di esprimere i numeri in base 6, avremmo la possibilità di scrivere i numeri con le sole cifre [0,1,2,3,4,5].

E se la base fosse maggiore di 9? Beh in quel caso oltre alle 10 cifre, si utilizzano le lettere. Per esempio se fissiamo come base il 12, avremo i seguenti simboli a disposizione: [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B].

Come si fa a convertire un numero da una base all’altra?

I numeri esprimibili sono sempre gli stessi, il loro valore è lo stesso, ciò che può cambiare (in diversi sistemi di numerazione), è la sequenza di simboli adottata per esprimerli.

E’ quindi possibile trasformare un numero espresso in base n, nell’equivalente numero in una seconda base m? Certo, esiste un procedimento non troppo complicato (che funziona per qualsiasi coppia di basi), che ci viene in aiuto.

Non avrebbe senso incasinare ancora di più l’articolo, spiegando il metodo per trasformare i numeri da una base all’altra, ho quindi trovato un video fatto abbastanza bene in cui ciò viene spiegato. Senz’altro ti sarà più chiaro 😉

Perchè inventarsi diversi sistemi di numerazione?

Penso che sia una domanda che ti sei già posto, leggendo questo articolo fin qui. Dopotutto i numeri che vogliamo rappresentare sono sempre gli stessi, perchè incasinarci la vita variando la modalità con cui li esprimiamo?

Beh, un motivo fondamentale è che non in tutti i contesti contare in base 10 può essere comodo. Per esempio per memorizzare un’informazione, il computer necessita unicamente di due cifre, 0 ed 1. Sarebbe meno efficiente se utilizzassimo una numerazione decimale, ma non è questo il contesto adatto per proseguire il discorso.

Ovviamente ci sono alcuni sistemi di numerazione più esotici che difficilmente trovano utilità pratica più che per risolvere  un problema isolato. Per esempio in base 6 o 7.

Con questo termino l’articolo, lasciandoti però un PDF davvero ben fatto sull’argomento. Puoi scaricarlo inserendo la tua email qui sotto 😉

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