Caffè matematico n°5 : La somma di tutti i naturali

Già Gauss quando aveva 7 anni aveva trovato una formula per calcolare la somma dei primi N numeri naturali… Ma quanto fa la somma di tutti i numeri naturali? “Ovviamente è infinito” verrebbe da dire… e invece NO! la somma esiste, è finita e fa -\frac{1}{12}

Somma di tutti i numeri naturali

Dove sta l’inganno?

Spoiler: non trattate i passaggi matematici come oro colato, l’idea di fondo è sbagliata! (si vedano i commenti finali a tal proposito)

Scherzi a parte, la serie \sum_{n=1}^{\infty} n è ovviamente divergente (cioè fa +\infty), tuttavia se la tronchiamo ad un certo N la somma, essa risulta ben definita e fa \frac{(N+1)N}{2}

Tuttavia se facciamo tendere la serie a inifinito, le cose cambiano… Prendiamo il problema con leggerezza e vediamo come dimostrare che la somma fa -\frac{1}{12}!

Vi anticipo già che nella dimostrazione non c’è nessuna intuizione perchè per come il problema è definito esso è tremendamente anti-intuitivo!

Siamo ai primi del ‘900 e un talentuoso fisico indiano annota sul suo taccuino il giusto risultato a questo problema. Stiamo parlando del celebre Ramanujan[1] il quale risolvette questo problema in modo euristico; l’idea di base si fondava sul fatto che si poteva trasformare la serie 1+2+3+4+\dots in 1-2+3-4+\dots (per informazioni riguardo alla serie alternata rimando a link in bibliografia ) sottraendo 4 al secondo termine, 8 al quarto, 12 al sesto e così via. il totale sottratto era quindi $latex 4+8+12+16…$, ovvero quattro volte la serie originale!

Già Eulero, molti anni prima, aveva dimostrato che (paradossalmente!) la somma alternata faceva $latex \frac{1}{4}$! Quello che fece Ramanujan fu di porre semplicemente

c=1+2+3+4+\dots e

4c =4+8+12+16+\dots.

Dunque il gioco era fatto! Basta sottrarre la seconda dalla prima e si ottiene semplicemente:

-3c=c-4c=(1+2+3+4+...)-(4+8+12+16+...)=1-2+3-4+\dots

quindi abbiamo vinto perchè Eulero aveva già giocato a questo gioco! Basta porre:

-3c=\frac{1}{4} ottenendo dunque c=-\frac{1}{12}


Attenzione! Il risultato rimane in ogni caso errato!

Questo risultato è chiaramente errato in quanto le serie infinite vanno maneggiate prima trovando la funzione generale somma e poi passando al limite all’infinito. Infatti se si manipolano le serie inifinte come fossero finite (come nella “soluzione” riportata da Ramanujan), è possibile dimostrare praticamente qualsiasi risultato. [2]

Il principio di fondo è che la somma è definita in modo induttivo e dunque non si può usare l’induzione con troppa leggerezza quando si parla di somme infinite!


Nota (importante)

Sebbene come precedentemente detto questo risultato è sostanzialmente errato, quest’ultimo trova notevoli applicazioni in analisi complessa, teoria dei numeri, teoria quantistica dei campi e teoria M (per gli amici: teoria delle stringhe). Il motivo per cui questo è valido è molto più profondo ed è legato al fatto che per particolari funzioni un approssimazione finita di somme infinite produce un errore tendente a zero (per chi ne sa un po’ di più, sto parlando ovviamente dell’operatore troncamento).

2 commenti

  • Rodolfo Ambrosetti

    Ci si puo’ spingere piu’ in la’: ovviamente, come spiegato nell’articolo, il risultato conseguito e’ semplicemente sbagliato. Ma un teorema vero afferma che i termini di una serie alternata che sia convergente ma non assolutamente convergente possono essere riordinati in modo tale che la serie converga verso qualsiasi numero reale. In altri termini (anche se non matematicamente precisi…) per queste serie la proprieta’ commutativa della somma non vale 🙂

    • Certamente le possibili estensioni all’articolo sono enormi… Si poteva prendere il problema aggiungendo le definizioni di serie divergente secondo Cauchy, secondo Cesàro e secondo la versione generalizzata di Hölder mostrando che il risultato non cambia (e che Ramanujan sbagliava comunque), e mostrando che la serie può convergere a -1/12 solamente se definita tramite il prolungamento analitico della funzione zeta di Riemann sui complessi di cui si calcolano i valori nel punto -1 grazie alla sua equazione funzionale… però tutto questo andrebbe al di là dell’obiettivo inziale che era di contenere il tutto in 500 parole circa. Il tempo di un caffè appunto 😉

      Ringrazio comunque molto per l’osservazione, la community sta crescendo anche grazie a questi ottimi commenti.

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