Successione di Fibonacci: cos’è e alcune proprietà interessanti

Successione di Fibonacci, ne hai mai sentito parlare? Beh, immagino di si. Spesso però, questa viene introdotta come una semplice sequenza di numeri. Numeri che rispettano alcune proprietà specifiche, certo. Ma devi sapere che la successione di Fibonacci nasconde delle meravigliose “coincidenze” anche in natura. Inoltre gode di molte interessanti proprietà che meritano un intero articolo (in realtà 2 🙂 )

Successione di Fibonacci

Con questo articolo (ed un secondo che uscirà la settimana prossima), voglio quindi provare ad introdurti ad alcune delle principali situazioni in cui, in natura, possiamo determinare certi comportamenti grazie alla sequenza di Fibonacci.

Prima, però, vediamo un po’ di storia e qualche nozione generale sulla successione stessa.

In questo modo posso passare allo step successivo, dando per buoni alcuni concetti fondamentali per gli esempi di tale successione in natura.

Cos’è la successione di Fibonacci?

Beh, questo è abbastanza semplice.

La successione di Fibonacci, indicata con Fn o con Fib(n), è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti. I primi 2 numeri di tale successione, sono Fib(1)=Fib(2)=1.

Possiamo quindi definire ricorsivamente tale successione nel seguente modo:

F(1)=1

F(2)=1

F(n)=F(n-2)+F(n-1) per n>2

I primi numeri della successione sono quindi i seguenti:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

I numeri che appartengono a questa successione, sono anche detti numeri di Fibonacci.

Fin qui tutto chiaro, spero. In caso ti rimanga qualche dubbio, non preoccuparti. Puoi mandarmi una mail a list@mathone.it oppure un messaggio alla pagina Facebook che puoi tovare qui: Mathone.

Detto ciò, proseguiamo nel nostro percorso alla scoperta dei numeri di Fibonacci 😉

Un po’ di storia sulla successione di Fibonacci

Partiamo da un paio di informazioni sul signor “Fibonacci”. Il suo nome reale era Leonardo Pisano. Visse tra il 1170 e il 1250 in Italia. “Fibonacci” era il suo soprannome, deriva dal fatto che era “figlio di Bonacci”.

Ma queste sono solo curiosità, dopotutto. Veniamo ora alla storia vera a propria di questa meravigliosa successione.

Fibonacci, quando creò questa sequenza così definita, aveva un obiettivo ben chiaro in testa. Voleva trovare una legge matematica che potesse descrivere la crescita di una popolazione di conigli.

Supponendo di avere una coppia di conigli appena nati, e che questa coppia diventi fertile al compimento del primo mese, voleva vedere cosa sarebbe successo poi.

Supponiamo che tale coppia dia alla luce ad una nuova coppia al compimento del secondo mese.

Le nuove coppie nate, ovviamente, si comportano in maniera analoga alla prima. Le coppie fertili, dal secondo mese di vita in poi, danno alla luce una coppia di figli al mese.

Se tutto ciò fin’ora esposto fosse vero, allora si verifica ciò che segue:

 

  • dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile,
  • dopo due mesi ci saranno due coppie di cui una sola fertile,
  • nel mese seguente (terzo mese dal momento iniziale) ci saranno 2+1=3 coppie perché solo la coppia fertile avrà generato; di queste tre due saranno le coppie fertili, quindi
  • nel mese seguente (quarto mese dal momento iniziale) ci saranno 3+2=5 coppie

In questo esempio, il numero di coppie di conigli di ogni mese esprime la successione di Fibonacci.

Interessante, no? Ma ora veniamo a qualche proprietà, analogia e legame davvero interessante, per preparare il campo alle applicazioni vere e proprie della teoria fin’ora vista. 🙂

Alcune proprietà interessanti

Questa successione nasconde molte sorprese. Infatti sembrerebbe semplicemente una sequenza di numeri che godono di una particolare proprietà, ma devi sapere che la successione di Fibonacci è molto di più.

Iniziamo con una proprietà che probabilmente hai già sentito da qualche parte:

Il limite per n che tende ad infinito del rapporto di due numeri successivi, tende alla sezione aurea. Ovvero al seguente numero algebrico (ricavabile da un’equazione):

\,\phi ={1+{\sqrt 5} \over 2}=1{,}6180339887\dots

Nelle precedenti righe ci sono alcuni concetti che possono non esserti troppo chiari. Vediamo di sviscerare per bene questa proprietà così importante.

Il limite che tende ad infinito di Fib(n)/Fib(n-1) è uguale al limite che tende ad infinito del numeratore, fratto quello del denominatore. Ci serve quindi a vedere cos’accade ai numeri di Fibonacci per n molto grandi.

Si può quindi notare che Fib(n)=Fib(n-1)*ϕ. Questa regolarità è molto interessante ed utile nello studio della successione stessa.

Ma vediamo un po’ meglio che cos’è la sezione aurea, ovvero questo numero qui:

\,\phi ={1+{\sqrt 5} \over 2}=1{,}6180339887\dots

La sezione aurea è un numero algebrico, ovvero ricavabile come soluzione di un’equazione, che determina il rapporto tra i lati del rettangolo considerato più “bello” e armonioso esteticamente.

Per ora ti basti sapere che questo numero ha avuto grande importanza nell’arte e nella matematica. Inoltre esso è una delle soluzioni della seguente equazione:

{\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1=0}

Se vuoi approfondire, inserisci la tua mail qui sotto per poter sfogliare un PDF davvero ben fatto su questo numero e su alcune sue utilità i natura:

 

 

 

Presto pubblicherò anche un articolo a riguardo, ma per ora è più che sufficiente il PDF che ti ho consigliato 😉

Detto ciò, vediamo una formula che, partendo dal rapporto tra un elemento e il precedente, ti permette di ottenere l’n-simo elemento della successione, con buona precisione, senza necessariamente conoscerne i due precedenti.

Si ha che l’n-esimo numero di Fibonacci si può esprimere con la formula:

F_{n}={\frac {\phi ^{n}}{{\sqrt {5}}}}-{\frac {(1-\phi )^{n}}{{\sqrt {5}}}}={\frac {\phi ^{n}-(-\phi )^{{-n}}}{{\sqrt {5}}}}.

Questa elegante formula è nota come formula di Binet.

Per ora non approfondisco, se no l’articolo diventa troppo lungo. Ovviamente ci sarebbero altre proprietà, teoremi e relazioni davvero interessanti. Ma per questo articolo ho deciso di nominarne alcune e basta, ne dedicherò (la prossima settimana) unicamente a questo aspetto della successione di Fibonacci.

Ecco alcune proprietà, relazioni e teoremi interessanti:

  • Teorema di Carmichael e fattori primi caratteristici
  • Numeri di Fibonacci primi
  • Primalità
  • Proprietà di divisibilità
  • Relazioni con il triangolo di Tartaglia ed i coefficienti         binomiali

Siccome ci sono numerose proprietà ed applicazioni davvero interessanti riguardo a questa successione, e orma siamo a circa 1000 parole in questo articolo, ho deciso di fermarmi qui.

Ritengo che per ora le informazioni siano sufficienti, settimana prossima pubblicherò un articolo dedicato unicamente a queste parti che ho trascurato qui e che meritano di un articolo a parte.

Se hai domande, dubbi o curiosità ti ricordo che puoi contattarmi sulla pagina Facebook, mandandomi una mail a list@mathone.it oppure lasciando un commento qui sotto.

Intanto, se vuoi rimanere aggiornato e ricevere immediatamente il link del prossimo articolo sulla successione di Fibonacci, potresti inserire la mail qui sotto. Riceverai in regalo un PDF con 50 giochi di logica ed indovinelli e una curiosità matematica ogni giorno. Niente male come proposta, no?! 😉

Per compensare alle mancanze di questo articolo, intanto, ti lascio questo video davvero completo ed interessante 😉 Alla prossima!

 

 

 

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