Successione di Fibonacci: proprietà e alcune applicazioni

Settimana scorsa ci eravamo lasciati con qualche questione in sospeso. Se non hai ancora letto l’articolo introduttivo sulla successione di Fibonacci, rimedia subito! L’articolo lo puoi trovare qui:

Successione di Fibonacci : introduzione

Fibonacci

Nella prima parte ti avevo parlato della storia, di un paio di curiosità e proprietà e spero di averti fatto voglia di approfondire l’argomento con qualche PDF e video.

Ora, ci inoltreremo invece nelle principali proprietà che caratterizzano questa successione e in alcune sue applicazioni davvero interessanti.

Iniziamo subito!

Proprietà principali della successione di Fibonacci

Oltre alla relazione che lega i numeri di tale successione con la sezione Aurea, che ti avevo presentato nello scorso articolo, ti avevo già anticipato che questa sequenza particolare di numeri, gode di svariate proprietà caratteristiche.

In questo articolo ne vedremo 2, quelle che ho ritenuto più curiose ed interessanti. Se hai voglia di scoprire di più sull’argomento, non dimenticare che esiste l’amico Google, oppure contattami per mail (list@mathone.it) oppure sulla pagina Facebook che trovi QUI.

Ecco le proprietà su cui mi soffermerò:

  • Relazioni con il massimo comun divisore e la divisibilità
  • Teorema di Charmichael e fattori primi caratteristici

Relazioni con il massimo comun divisore e la divisibilità

Il concetto di divisibilità e di massimo comun divisore, non sono proprio banali da un punto di vista algebrico. Tuttavia per il momento non ci servono concetti troppo complessi, ci basta restringere il discorso ai numeri naturali. Magari in altra sede potrei approfondire il concetto di divisibilità su campi e anelli algebrici.

Per leggere le prossime righe, è sufficiente che tu conosca i seguenti concetti:

  1. Siano a,b numeri naturali. Allora si ha che a divide b (a|b) se la divisione con resto tra a e b, ha resto 0. Ossia se esiste un numero naturale c, tale che a*c=b.
  2. Siano a,b,c numeri naturali. Allora c è comun divisore di a e b, se c|a e c|b.
  3. Siano a,b,c,M,N numeri naturali. Se M ed N sono gli unici comuni divisori di a,b,c e N|M, allora M si dice massimo comun divisore (come si può intuire, è il più grande tra i comuni divisori) di a,b,c (M=MCD(a,b,c)).

Detto ciò, possiamo passare alla proprietà vera e propria.

Un’importante proprietà dei numeri di Fibonacci riguarda il loro massimo comun divisore. Infatti è soddisfatta la  seguente identità:

{\mathrm {MCD}}(F_{n},F_{m})=F_{{{\mathrm {MCD}}(n,m)}}

Essa è anche nota come Teorema di Vorob’ev. Da questo segue che Fn è divisibile per Fm se e solo se n è divisibile per m.

Questa proprietà è importante perché ne segue che un numero di Fibonacci Fn può essere un numero primo solamente se n stesso è un numero primo, con l’unica eccezione di F4=3 (l’unico numero di Fibonacci per cui potrebbe essere divisibile è F2=1). Il viceversa tuttavia non è vero: F19, ad esempio, è uguale a 4181=37*113

Non è noto se i numeri primi che sono anche numeri di Fibonacci siano o meno infiniti.

Inoltre si può dimostrare che ogni numero primo divide almeno uno, e di conseguenza infiniti, numeri di Fibonacci.

Teorema di Charmichael e fattori primi caratteristici

Per ogni n>12, esiste un fattore primo del numero di Fibonacci Fn che non è mai apparso come un fattore dei numeri di Fibonacci Fk, con k<n.

Questo teorema è noto come teorema di Carmichael.

Si noti che questo non significa che Fp deve essere un numero primo per ogni primo. Ad esempio F19=4,181=37*113, dove 19 è un numero primo, ma F19 no.

I fattori primi di un numero di Fibonacci Fn che non dividono nessun numero di Fibonacci precedente sono detti fattori caratteristici o divisori primi primitivi.

Applicazioni interessanti della successione di Fibonacci

Siccome non vogliamo che la matematica rimanga semplicemente una scienza bella ma poco concreta, ecco che ci addentriamo in alcune applicazioni interessanti ed utili della successione di Fibonacci.

Ho pensato di iniziare con qualche “coincidenza” in natura, per passare poi a delle vere e proprie applicazioni nell’arte, nell’economia. Ce ne sono anche alcune interessanti nella musica, ma penso di dedicare alcuni articoli al rapporto tra musica e matematica (non irrilevante) perchè mi affascina parecchio.

Insomma, non sono proprio semplici numeri, sono qualcosa di più 😉

Fibonacci

“Coincidenze” in natura

Il titolo di questo paragrafo è provocatorio appositamente, non sono del tutto coincidenze quelle che andremo a vedere nelle prossime righe e sono inoltre fondamentali per alimentare la tipica domanda “Ma la matematica viene inventata dall’uomo o noi dobbiamo solo scoprirla?!”.

Quasi tutti i fiori hanno tre o cinque o otto o tredici o ventuno o trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove petali: ad esempio i gigli ne hanno tre, i ranuncoli cinque, il delphinium spesso ne ha otto, la calendula tredici, l’astro ventuno, e le margherite di solito ne hanno trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove.

Il rapporto fra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare di un uomo adulto è aureo, come anche il rapporto tra la lunghezza del braccio e l’avambraccio, e tra la lunghezza della gamba e la sua parte inferiore. Proprio come il rapporto tra i numeri di Fibonacci molto grandi! 😉

Applicazioni in altri settori

I numeri di Fibonacci sono stati usati in alcune opere d’arte.

A Barcellona e a Napoli è stata creata un’installazione luminosa: nella città spagnola si trova nell’area della Barceloneta, all’interno dell’area pedonale, dove i numeri sono posti a distanze proporzionali alla loro differenza, mentre a Napoli sono disposti a spirale all’interno della stazione Vanvitelli della linea 1 della metropolitana, e più precisamente sul soffitto che sovrasta le scale mobili quando, superate le obliteratrici, si scende all’interno della stazione vera e propria.

I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche in economia nell’Analisi tecnica per le previsioni dell’andamento dei titoli in borsa, secondo la teoria delle onde di Elliott.

Studiando i grafici storici dei titoli, Ralph Nelson Elliott sviluppò un metodo basato su tredici conformazioni grafiche dette onde, simili per forma ma non necessariamente per dimensione.

Online puoi trovare moltissimi esempi di applicazioni di questa sequenza di numeri, ti consiglio vivamente di fare qualche ricerca.

Spero di aver soddisfatto gran parte della tua sete di conoscienza, in caso di dubbi, suggerimenti o critiche non farti problemi a lasciare un commento qui sotto oppure a contattarmi direttamente. Sarò felice di ascoltarti 😉

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